Белая дыра - Изучение астрофизических чёрных дыр

АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ЧЁРНЫЕ ДЫРЫ КАК ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ ИСТОЧНИК СУБДОМИНАНТНОЙ КОМПОНЕНТЫ ТЁМНОГО СЕКТОРА

Энергетический скрининг, исторический интегральный поток популяции и феноменологическая модель члена источника

Препринт

Аннотация

Рассматривается возможность рождения стабильной субдоминантной компоненты тёмного сектора за счёт энергии, высвобождаемой вне горизонтов аккрецирующих астрофизических чёрных дыр. Рождение частиц во внешней плазме и извлечение энергии вращения требуют конкретных взаимодействий. Энергия, пересёкшая классический горизонт событий, не может просто вернуться наружу из-за невидимости продуктов; для альтернативного процесса с участием горизонта необходим отдельный причинно согласованный механизм.

Статья намеренно не утверждает, что обычные астрофизические чёрные дыры являются природой тёмной материи. Вместо этого формулируется более узкая гипотеза: существующая космическая популяция BH может обеспечивать дополнительный член источника для тёмной материи или другой стабильной компоненты тёмного сектора.

Основной объект анализа определяется уравнением

\dot\rho_X+3H(\rho_X+P_X)=Q_X,\qquad w_X=P_X/\rho_X

где \(X\) - стабильная компонента тёмного сектора, а \(Q_X\) - космологический член источника. Для нерелятивистской компоненты

\dot{\rho}_{X}+3H\rho_X=Q_X

Источник выражается интегрированием по популяции чёрных дыр:

Q_X(z)= \int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}(M,\chi,z)\,\Gamma_{\rm BH}(M,\chi,z)\,Y_X(M,\chi,z)\,M c^2

где \(n_{\rm BH}\) - физическое распределение по массе и спину, \(\Gamma_{\rm BH}\) - эффективная относительная скорость преобразования энергии, а \(Y_X\) - доля преобразованной энергии, поступающей в рассматриваемую компоненту.

Модель различает эффективность преобразования, удержание в гало и выживание частиц:

\epsilon_X\equiv Q_X/(\dot\rho_{\rm BH,feed}c^2)

f_{\rm bound}

f_{\rm surv}

описывающих соответственно эффективность преобразования, долю энергии/частиц, остающихся связанными с гало, и долю, сохраняющуюся до рассматриваемой эпохи.

Доступная энергия является количественным ограничением. Оценка по аргументу Солтана в разделе 28 даёт современную долю около 1,4 × 10⁻⁶, умноженную на эффективность преобразования, для принятого бюджета аккреции на сверхмассивные BH. После этого отдельно проверяются кинематика, космологическая эволюция, излучение и ограничения на популяцию.

Мы вводим понятие исторического потока:

\mathcal T_X(t)= \int_{t_{\rm form}}^{t} dt'\,Q_X(t') \left[\frac{a(t')}{a(t)}\right]^3 \mathcal S_X(t',t)

Для холодных частиц \(\mathcal S_X\) является вероятностью выживания; она равна единице, если частицы не распадаются и не исчезают в других процессах. Выход из гало не уменьшает общее содержание во Вселенной. Релятивистское красное смещение требует учёта импульсов, описанного в разделе 24.

Это позволяет отличить гипотезу, зависящую от текущей плотности BH, от гипотезы, определяемой интегральной историей роста BH.

Статья не вводит конкретной микроскопической теории тёмного сектора. Вместо этого строится минимальная феноменологическая модель, в которой микрофизика сведена к набору параметров

\{\Gamma_0,\alpha,\beta, \epsilon_X, f_{\rm bound}, f_{\rm surv}, m_X,\sigma_X,\ldots\}

Для субдоминантной компоненты требуется

\Omega_X < \Omega_{\rm DM}

Ранее рассматривавшийся поисковый интервал

10^{-6}\lesssim \frac{\Omega_X}{\Omega_{\rm DM}} \lesssim 10^{-1}

не является допустимой областью, выведенной из данных. Даже его нижняя граница не достигается при слабом преобразовании в приведённой модели SMBH; необходимо рассматривать и меньшие содержания. В работе приведена иллюстративная энергетическая оценка, но не подбор параметров по функции правдоподобия и не свидетельство существования новой компоненты.

Таким образом, предложенную гипотезу можно превратить из качественной идеи в проверяемую модель: необходимо восстановить историческую популяцию BH, рассчитать \(Q_X(z)\), проследить эволюцию создаваемой компоненты и одновременно проверить ограничения, связанные с CMB, крупномасштабной структурой, динамикой гало, косвенным обнаружением, космическими фонами и популяцией BH.

1. Введение

Современная космологическая модель требует холодной или почти холодной невидимой компоненты, составляющей большую часть вещества Вселенной. Космологические данные Planck дают

\Omega_c h^2\simeq 0.120

что соответствует доминирующей небарионной компоненте вещества в стандартной \(\Lambda\)CDM картине.

Происхождение тёмной материи остаётся неизвестным.

Большинство стандартных подходов предполагает, что тёмная материя была создана в ранней Вселенной и впоследствии эволюционировала преимущественно как почти бесстолкновительное вещество. Однако логически возможен и другой класс сценариев:

Обычное вещество → аккреционная система с BH → гипотетические тёмные частицы.

В этом случае тёмный сектор не обязан целиком представлять собой первичную реликтовую популяцию. Некоторая его доля может продолжать создаваться после формирования первых звёзд, галактик и чёрных дыр.

Именно эта возможность является предметом настоящей работы.

Однако с самого начала необходимо различать две гипотезы.

Гипотеза A

Первичные чёрные дыры (PBH) сами являются тёмной материей.

Гипотеза B

Обычные астрофизические чёрные дыры являются источниками дополнительной компоненты тёмного сектора.

Настоящая работа в первую очередь исследует гипотезу B.

Это различие важно.

PBH могли сформироваться в ранней Вселенной и действительно рассматриваются как возможная компонента тёмной материи; одновременно их излучение Хокинга может порождать стабильные частицы тёмного сектора. Литература показывает, что испарение PBH может влиять на реликтовую плотность и даже полностью или частично порождать тёмную материю в определённых диапазонах параметров.

Но астрофизические BH имеют другую историю:

M\sim 3M_\odot\;\ldots\;10^9M_\odot

BH звёздных масс возникают в ходе звёздной эволюции, а массивные зародыши могут появляться и при прямом коллапсе. Дальнейший рост связан с аккрецией и слияниями внутри развивающихся галактических структур. Приведённый диапазон масс является иллюстрацией, а не границей наблюдаемой популяции.

Поэтому источником тёмного сектора в данном случае не обязательно должно быть испарение Хокинга.

Более естественный феноменологический вопрос состоит в следующем:

может ли небольшая доля энергии, проходящей через популяцию астрофизических чёрных дыр, систематически преобразовываться в стабильные степени свободы тёмного сектора?

Это центральная гипотеза данной работы.

2. Статус гипотезы

Представленная модель является феноменологической моделью источника, а не полной фундаментальной теорией.

Мы не утверждаем существование конкретного взаимодействия

\mathcal L_{\rm int}

между Стандартной моделью и тёмным сектором.

Вместо этого мы предполагаем существование некоторого эффективного канала

Внешнее окружение BH → X при наличии подходящего взаимодействия.

где \(X\) - стабильная или достаточно долгоживущая частица тёмного сектора.

В наиболее общем виде:

L_X=\epsilon_X\dot M_{\rm in}c^2

где

0\leq \epsilon_X\leq1

Ключевая задача состоит не в доказательстве того, что \(\epsilon_X\neq0\), а в определении того, допускают ли наблюдения диапазон

0<\epsilon_X\ll1

Именно этот диапазон делает гипотезу физически интересной.

3. Почему чёрные дыры являются естественной целью такого поиска

Активные аккрецирующие или вращающиеся системы с BH могут обеспечивать следующие условия; эти свойства не относятся к каждой чёрной дыре:

- высокой плотностью энергии;

- сильным гравитационным красным смещением;

- высокими темпами аккреции во время активных фаз;

- релятивистской плазмой;

- сильными магнитными полями в аккреционных системах;

- релятивистскими джетами;

- большим запасом вращательной энергии;

- физикой масштабов горизонта.

Кроме того, популяция чёрных дыр обладает значительной интегральной историей роста.

Для SMBH стандартный подход типа Солтана связывает интегральную плотность светимости AGN с накопленной плотностью массы BH. Наблюдаемая локальная популяция BH в целом согласуется с тем, что значительная доля массы SMBH была накоплена посредством аккреции.

Поэтому естественно ввести величину:

E_{\rm BH,history}=\int dt\,\dot E_{\rm acc}(t)

которая имеет размерность энергии, тогда как мгновенная светимость имеет размерность мощности. Их численные значения нельзя сравнивать без указания временного масштаба. Интеграл также должен согласовываться с измеренным ростом и энергетическим балансом популяции.

Поэтому анализ должен быть сосредоточен не на отдельной BH, а на источнике, интегрированном по всей популяции.

4. Энергетический скрининг

Во всей работе \(\rho_X\), \(\rho_{\rm DM}\) и \(P_X\) обозначают физические плотности энергии и давление в одинаковых единицах; \(Q_X\) задаёт энергию, вводимую в единицу физического объёма за единицу собственного времени. \(\rho_{\rm BH}\) является плотностью массы чёрных дыр. Черта сверху обозначает величину на сопутствующий объём; \(a(t_0)=1\). Безразмерный спин обозначен \(\chi=cJ/(GM^2)\), а \(a(t)\) используется только для космологического масштабного фактора.

Для аккрецирующего объекта введём полную эффективность \(\epsilon_{\rm acc}\) выделения энергии вне горизонта. В минимальной модели эта энергия распределяется между видимым излучением и тёмным сектором; дополнительные механические потери и извлечение вращательной энергии не учитываются:

L_{\rm available}=\epsilon_{\rm acc}\dot M_{\rm in}c^2,\qquad L_X=f_{\rm conv}L_{\rm available},\qquad L_{\rm vis}=(1-f_{\rm conv})L_{\rm available}

\dot M_{\rm BH}=(1-\epsilon_{\rm acc})\dot M_{\rm in},\qquad 0\le f_{\rm conv}\le1

Видимая и тёмная светимости делят один энергетический бюджет. Дополнительный независимый отток в тёмный сектор, джет или извлечение энергии вращения требуют отдельных членов баланса. Энергия покоя \(\rho_{\rm BH}c^2\) задаёт масштаб, но не является автоматически доступным запасом. Эффективности в конечном счёте должны следовать из физического механизма.

5. Три энергетические доли

Чтобы избежать наиболее опасной концептуальной неоднозначности, введём три различных коэффициента.

5.1. Эффективность преобразования

f_{\rm conv}=\frac{E_{\rm converted}}{E_{\rm available}}

Это эффективность генерации энергии тёмного сектора.

5.2. Связанная доля

Не вся произведённая энергия обязательно становится частью галактического гало.

Определим

f_{\rm bound}(t)=N_{X,\rm bound}(t)/N_{X,\rm surviving}(t)

Для релятивистского рождения:

f_{\rm bound}\ll1

может быть естественным.

Для достаточно холодной компоненты:

f_{\rm bound}\rightarrow1

может быть возможным.

Таким образом, генерация энергии и формирование гало - разные задачи.

В приведённом отношении числитель и знаменатель считают связанные и выжившие частицы одной группы рождения в одну эпоху. Выход из гало не означает уничтожения частицы.

5.3. Доля выживших

Если \(X\) нестабильна,

X\rightarrow Y+\cdots

тогда необходимо учитывать время её жизни:

\tau_X

Введём

f_{\rm surv}(t',t)

Тогда вклад источника равен:

d\rho_X(t;t')=Q_X(t')dt' \left(\frac{a(t')}{a(t)}\right)^3 f_{\rm surv}(t',t)

Для стабильной частицы

f_{\rm surv}=1

6. Основное уравнение члена источника

Для холодной компоненты тёмного сектора:

\dot\rho_X+3H\rho_X=Q_X

Q_X(z)= \int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}(M,\chi,z) \Gamma_{\rm BH}(M,\chi,z)\,Y_X(M,\chi,z) M c^2

где:

- \(M\) - масса BH;

- \(\chi\equiv cJ/(GM^2)\) - безразмерный спин;

- \(n_{\rm BH}\) - функция распределения BH по массе и спину;

- \(\Gamma_{\rm BH}\) - относительная скорость источника;

- \(Y_X\) - выход энергии тёмного сектора.

Два последних параметра можно объединить:

\eta_X(M,\chi,z)=\Gamma_{\rm BH}Y_X

Тогда

Q_X= c^2\int dM\,d\chi\,n_{\rm BH} M\eta_X

Здесь \(n_{\rm BH}=dN/(dV_{\rm phys}\,dM\,d\chi)\); величины \(\Gamma_{\rm BH}\) и \(\eta_X=\Gamma_X=\Gamma_{\rm BH}Y_X\) имеют размерность обратного времени. \(Y_X\) безразмерна. Скорости могут включать долю времени активности. Наблюдаемые сопутствующие числовые плотности перед подстановкой в физический \(Q_X\) нужно умножить на \(a^{-3}\).

7. Интегральный поток по популяции

Для изначально отсутствующей стабильной холодной компоненты однородное решение имеет вид:

\rho_X(t)=\mathcal T_X(t)=a^{-3}(t)\int_{t_i}^{t}a^3(t')Q_X(t')\,dt'.

Начальное содержание добавляет член \(\rho_X(t_i)[a(t_i)/a(t)]^3\). Для нерелятивистских частиц с постоянным временем жизни в системе покоя подынтегральное выражение умножается на \(\exp[-(t-t')/\tau_X]\). Релятивистское рождение требует эволюции распределения импульсов; произвольный коэффициент выживания её не заменяет.

Доля удержания в гало не умножает среднюю космическую плотность. Частицы, покинувшие галактику, остаются во Вселенной. Их пространственное распределение и вклад в гало являются отдельными задачами переноса. Современная плотность зависит от истории источника и потому не обязана отслеживать текущую активность BH. Этот интеграл является стандартным решением уравнения непрерывности с источником, а не новым законом сохранения.

8. Историческая память

Одна и та же BH может пройти стадии образования зародыша, аккреции и слияний, поэтому это не непересекающиеся популяции, которые можно просто сложить. Вместо этого разделяются физические каналы источника без двойного учёта одной и той же выделенной энергии:

Тогда:

Q_X= Q_{\rm seed} + Q_{\rm acc} + Q_{\rm merger}

Для SMBH аккреционный член является особенно естественным:

Q_{\rm acc}=c^2\int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}\dot M_{\rm in}\epsilon_{\rm acc}f_{\rm conv}

Вклад, связанный со слияниями, также возможен:

Q_{\rm merger} \propto \int dM_1\,dM_2\, R_{\rm merge} E_{\rm available} f_{\rm conv}

Однако канал слияний в данной работе не рассматривается как основной.

Основной эталонный вариант:

Q_X\propto \int n_{\rm BH}\dot M_{\rm acc}\,dM\,d\chi

9. Минимальная эталонная модель

Для получения проверяемых масштабных соотношений введём:

\Gamma_{\rm BH}=\Gamma_0 \left(\frac{M}{M_0}\right)^\alpha g(\chi) h(z)

Y_X=Y_0 \left(\frac{M}{M_0}\right)^\beta s(\chi) r(z)

Тогда:

Q_X=\Gamma_0Y_0c^2\int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}M \left(\frac{M}{M_0}\right)^{\alpha+\beta} g(\chi)s(\chi)h(z)r(z)

Если

\alpha+\beta=0

тогда источник приблизительно отслеживает плотность массы BH:

Q_X\propto\rho_{\rm BH}

Если

\alpha+\beta>0

вес смещается к большим массам при фиксированных популяции и весах по спину. Фактическое доминирование также зависит от функции масс, её границ и распределения активности.

Если

\alpha+\beta<0

тогда вклад смещается в сторону меньших BH.

Это превращает модель в задачу синтеза популяции.

Такой вес источника определяет только сумму \(\alpha+\beta\), если независимые данные не разделяют скорость и выход. Множители спина и красного смещения также требуют согласованного усреднения; само условие \(\alpha+\beta=0\) не устраняет эти зависимости.

10. Функция масс чёрных дыр

Обозначим:

\Phi(M,z)=\frac{dN}{dV_{\rm phys}\,d\ln M}=M\int d\chi\,n_{\rm BH}(M,\chi,z)

Тогда:

\rho_{\rm BH}(z)=\int d\ln M\,M\Phi(M,z)

источник:

Q_X(z)=c^2\int d\ln M\,M\Phi(M,z)\Gamma_X(M,z)

Это более удобная форма для численного анализа.

Функция масс SMBH является одним из основных эмпирических инструментов для восстановления истории роста чёрных дыр.

11. Обратная реакция

Тёмный канал должен получать энергию из определённого источника. Для одного объекта дополнительная тёмная светимость при фиксированных поступлении вещества и остальных потерях даёт:

\dot M_{\rm BH}=\dot M_{\rm standard}-L_{X,\rm extra}/c^2.

Если тёмное излучение заменяет часть существующего излучательного потока, используется распределение из раздела 4; повторное вычитание означало бы двойной учёт потерь. Слияния и извлечение энергии вращения требуют соответствующих балансов массы и углового момента.

Для популяции \(Q_X\) имеет размерность энергии на объём и время; его нельзя непосредственно прибавлять к скорости изменения массы одного объекта. На однородном уровне компоненты, отдающие энергию, имеют компенсирующие потери:

\dot\rho_i+3H(\rho_i+P_i)=Q_i,\qquad \sum_iQ_i=0.

Все \(\rho_i\) в этом уравнении являются плотностями энергии. Для малого возмущения тёмная мощность должна быть мала относительно соответствующей мощности поступления или извлечения энергии, а не относительно чистой скорости роста BH, которая может обращаться в ноль.

12. Основное безразмерное отношение

Наиболее информативным параметром является:

\epsilon_X(z)=\frac{Q_X(z)}{\dot\rho_{\rm BH,feed}(z)c^2}

Если

\epsilon_X\ll1

это означает малую долю подводимой энергии покоя. Малое изменение бюджета излучения дополнительно требует \(\epsilon_X/\epsilon_{\rm acc}=f_{\rm conv}\ll1\) в модели разделения энергии; малость нужно проверять относительно соответствующего резервуара. Из первого неравенства это само по себе не следует.

В то же время интегральный вклад может быть ненулевым:

\frac{\rho_X}{\rho_{\rm DM}}=\frac{\int dt\,Q_Xa^3}{\rho_{\rm DM,0}a_0^3}

Это допускает режим:

\epsilon_X\ll1, \qquad \Omega_X/\Omega_{\rm DM}\neq0

13. Почему субдоминантная компонента является наиболее естественным сценарием

Объяснить всю тёмную материю посредством канала источника в виде астрофизических BH значительно сложнее.

Для полной компоненты требуется:

\Omega_X=\Omega_{\rm DM}

При этом эффективность источника должна быть достаточно высокой, но не нарушать:

- функции светимости AGN;

- космические фоны;

- инжекцию энергии в CMB;

- динамику гало;

- формирование структуры;

- функции масс BH;

- ограничения косвенного обнаружения.

Для субдоминантной компоненты требования слабее:

\Omega_X=\xi\Omega_{\rm DM}, \qquad 0<\xi<1

Для сравнения рассматривается поисковый интервал:

10^{-6} \lesssim\xi\lesssim10^{-1}

Этот интервал не является выведенной или предпочтительной областью. Модель слабого преобразования на SMBH в разделе 28 даёт меньшие значения. Одна лишь субдоминантность не гарантирует достаточного бюджета, холодной кинематики или наблюдаемых эффектов.

14. Почему PBH необходимо рассматривать отдельно

PBH имеют совершенно другое временное ядро.

Для невращающейся незаряженной чёрной дыры Шварцшильда температура Хокинга равна:

T_H= \frac{\hbar c^3} {8\pi G M k_B}

то есть,

T_H\propto M^{-1}

Поэтому малые PBH могут эффективно порождать тяжёлые частицы, если

k_BT_H\gtrsim m_Xc^2

Испарение PBH уже используется как механизм рождения тёмной материи и других состояний за пределами Стандартной модели.

Но для обычных звёздных и сверхмассивных BH:

k_BT_H\ll 1\,{\rm eV}

и излучение Хокинга практически не является эффективным механизмом рождения массивной тёмной материи.

Поэтому гипотеза об астрофизических BH должна использовать другой источник:

Аккреция, вращение или внешнее окружение → X.

а не стандартное испарение Хокинга.

15. Возможные микроскопические каналы

Феноменологическая модель не фиксирует микрофизику, но допускает несколько классов механизмов.

15.1. Излучение скрытого сектора

Аккреционная плазма → X и другие продукты,

если существует слабая связь.

15.2. Гравитационное рождение

Зависящий от времени гравитационный фон в принципе может порождать частицы в конкретной квантовополевой модели; один схематический тензор энергии-импульса не задаёт ни скорости, ни спектра рождения.

15.3. Канал, связанный с горизонтом

Процесс можно параметризовать феноменологически следующим образом:

Предполагаемый процесс с участием горизонта → X.

Такой механизм требует полноценного вывода в квантовой гравитации или полуклассическом приближении и поэтому не рассматривается в данной работе как установленный.

Слабая электромагнитная связь не позволяет частицам пересекать классический горизонт событий наружу. Канал внешней плазмы, сверхизлучение и предполагаемый квантовый процесс у горизонта являются разными механизмами; им нельзя приписывать общую эффективность выхода без вывода.

15.4. Сверхизлучение скрытого сектора / извлечение энергии вращения

Если тёмный сектор содержит соответствующие поля, энергия вращения BH может быть связана с процессами сверхизлучения.

Тогда источник может зависеть от спина:

Q_X\propto g(\chi)

Это делает распределение спинов наблюдаемой частью модели.

16. Пространственный член источника

Космологического \(Q_X(z)\) недостаточно для проверки гипотезы на галактическом уровне.

Необходимо ввести:

Q_X(\mathbf x,t)=\int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}(M,\chi,\mathbf x,t)\Gamma_XMc^2

Тогда:

\dot\rho_X+3H\rho_X+\frac{1}{a}\nabla\cdot(\rho_X\mathbf v_X)=Q_X

Это уравнение позволяет изучать пространственную корреляцию между:

- плотностью BH;

- звёздной массой;

- активностью AGN;

- морфологией галактик;

- гало тёмной материи.

17. Ключевое различие между источником и трассером

Важно:

\rho_X\not\propto n_{\rm BH}

в общем случае.

Причина заключается в переносе.

Если частицы покидают гало галактики, а не только ближайшее окружение BH,

f_{\rm bound}\ll1

тогда локальный источник не обязан формировать локальное гало.

Поэтому необходимо ядро:

K(\mathbf x,t|\mathbf x',t')

Тогда:

\rho_X(\mathbf x,t)=\int_{t_i}^{t}dt'\,d^3x'\,K(\mathbf x,t|\mathbf x',t')Q_X(\mathbf x',t')

Это превращает гипотезу в задачу переноса + синтеза популяции.

Используются сопутствующие координаты \(\mathbf x\). Ядро учитывает расширение, якобиан объёма и выживание. Для стабильного холодного однородного источника оно удовлетворяет \(\int d^3x'K=[a(t')/a(t)]^3\), воспроизводя раздел 7. Ядро отдельного гало может учитывать захват и выход, но его интеграл не равен общему космическому содержанию.

18. Возмущения

Пусть \(\Delta Q_X\) обозначает возмущение физического источника энергии в заданной калибровке. Для фиксированного интервала массы и спина введём относительные возмущения численности, скорости преобразования и выхода. В первом порядке:

\Delta Q_X=c^2\int dM\,d\chi\,\bar n_{\rm BH}M\bar\Gamma_{\rm BH}\bar Y_X(\delta_n+\delta_\Gamma+\delta_Y).

Общий эффективный контраст требует усреднения по интервалам с весом источника. Эволюция контраста плотности также зависит от возмущений метрики, давления, импульса рождаемых частиц и компенсирующих возмущений в отдающем энергию секторе. Отклик через функцию Грина следует выводить из этой замкнутой системы. Поздний источник может менять передаточную функцию, но в работе не вычислены ни эта функция, ни наблюдательное ограничение.

Только в этой формуле возмущений черта над \(n,\Gamma,Y\) обозначает однородное фоновое значение, а не переход к сопутствующему объёму.

19. Эффективный коэффициент смещения

Определим контраст источника \(\delta_q=\Delta Q_X/Q_X\) относительно однородного ненулевого источника. На больших масштабах можно принять:

\delta_q\simeq b_Q(k,z)\delta_m.

Коэффициент смещения тёмной компоненты не обязан равняться единице и может зависеть от масштаба и времени. Для нерелятивистского вещества её вклад в полный контраст материи должен учитывать долю во всём веществе:

\delta_m=(1-F_X)\delta_{\rm rest}+F_X\delta_X,\qquad F_X=\rho_X/\rho_m.

Здесь \(\delta_{\rm rest}\) включает барионы и оставшуюся тёмную материю. Отношение \(\xi=\rho_X/\rho_{\rm DM}\) не является весом в этом уравнении полной материи. Изменение спектра мощности требует решения связанных уравнений возмущений; один коэффициент смещения не даёт предсказания.

20. Ограничение ранней Вселенной

Обычные BH как остатки звёзд возникают после звёзд и не создают компоненту во время BBN или рекомбинации. Более ранний источник требует отдельного сценария образования и проверки расширения, убыли отдающего энергию сектора и возмущений во время BBN, равенства вещества и излучения и рекомбинации.

\rho_X(t_*)=a_*^{-3}\int_{t_i}^{t_*}a^3(t)Q_X(t)\,dt.

Это плотность при рекомбинации для изначально отсутствующей стабильной холодной компоненты. Её и изменение отдающего энергию сектора нужно сопоставлять с данными. Интеграла без разбавления или сравнения только с излучением недостаточно. Позднее рождение всё равно ограничивается линзированием CMB и структурой.

21. Поздний источник

Если

\[Q_X(z)\]

- максимален при

z\lesssim 10

тогда создаваемая компонента по своей природе формируется поздно.

Это отличает модель от стандартного термического реликта.

Однако позднее производство не следует автоматически считать преимуществом.

Необходимо проверить:

\Delta N_{\rm eff}

линзирование CMB,

спектр мощности вещества,

формирование гало,

кривые вращения галактик,

численность спутников.

22. Температура тёмного сектора

Если \(X\) рождается в релятивистском режиме, её начальное распределение по импульсам имеет вид:

\mathcal F_X(p,t_{\rm prod})

После красного смещения:

p(t)=p_{\rm prod} \frac{a(t_{\rm prod})}{a(t)}

Длина свободного пробега:

\lambda_{\rm FS}=\int_{t_{\rm prod}}^{t_0} \frac{v(t)}{a(t)}dt

Тёплая или горячая компонента может подавлять мелкомасштабную структуру; величина эффекта зависит и от её содержания, и от распределения импульсов.

Диагностическую величину

\lambda_{\rm FS}

поэтому нужно проверять совместно с долей компоненты. Большая длина свободного пробега сама по себе не исключает сколь угодно малую субкомпоненту.

23. Режим холодного рождения

Для получения поведения, подобного тёмной материи, желательно иметь:

\frac{p_{\rm prod}}{m_Xc} \ll1

либо достаточное красное смещение между рождением и проверяемой эпохой. Компонента, возникшая после первых звёзд, не может стать холодной до равенства вещества и излучения, наступившего раньше.

Если частицы рождаются с

p_{\rm prod}\gg m_Xc

изначально они ведут себя как излучение:

w_X\simeq\frac13

Тогда уравнение имеет вид:

\dot\rho_X+4H\rho_X=Q_X

После перехода в нерелятивистский режим:

\dot\rho_X+3H\rho_X=Q_X

Поэтому необходимо использовать двухрежимную эволюцию по Больцману.

24. Минимальная двухкомпонентная эволюция

Единое распределение в фазовом пространстве непрерывно описывает переход от релятивистского режима к нерелятивистскому. Пусть \(\mathcal F_X(p,t)\) является однородным изотропным числом заполнения с физическим импульсом \(p\):

(\partial_t-Hp\partial_p)\mathcal F_X=\mathcal C_{\rm prod}-\mathcal C_{\rm loss}.

E=\sqrt{m_X^2c^4+p^2c^2},\qquad \rho_X=\int d\Pi\,E\mathcal F_X,\qquad P_X=\int d\Pi\,\frac{p^2c^2}{3E}\mathcal F_X.

Мера равна \(d\Pi=g_Xd^3p/(2\pi\hbar)^3\), где \(g_X\) учитывает внутренние состояния. Энергетические моменты дают:

\dot\rho_X+3H(\rho_X+P_X)=Q_X-D_X,\quad Q_X=\int d\Pi\,E\mathcal C_{\rm prod},\quad D_X=\int d\Pi\,E\mathcal C_{\rm loss}.

Для стабильных частиц без аннигиляции, поглощения и других процессов удаления член потерь отсутствует. Давление стремится к \(\rho_X/3\) в релятивистском пределе и к нулю в холодном. Разбиение распределения на два интервала возможно только с членами перехода, сохраняющими число частиц и энергию; смена названия источника не переводит уже существующие частицы. Численная эволюция фазового распределения здесь не выполнена.

Здесь «стабильный компонент без потерь» исключает аннигиляцию, поглощение и другие процессы удаления, а также распад. Одна лишь стабильность относительно распада не обнуляет столкновительный член потерь.

25. Синтез популяции

Практический расчёт следует построить следующим образом:

\Phi(M,\chi,z) \rightarrow \dot M(M,\chi,z) \rightarrow Q_X(M,\chi,z) \rightarrow \rho_X(z) \rightarrow P(k,z),C_\ell,\rho_X(r)

То есть необходимо последовательно моделировать:

1. функцию масс BH;

2. распределение спинов;

3. историю аккреции;

4. историю слияний;

5. эффективность источника;

6. спектр тёмного сектора;

7. перенос;

8. космологическую эволюцию.

26. Эталонная модель популяции

Можно начать с разделимого приближения:

\Phi(M,\chi,z)=\Phi_M(M,z)P(\chi|M,z)

Тогда:

Q_X(z)=c^2\int d\ln M\,M\Phi_M(M,z)\Gamma_X(M,z)

для

\Gamma_X=\Gamma_0\left(\frac{M}{10^8M_\odot}\right)^\alpha(1+z)^\gamma

получаем:

Q_X(z)=\Gamma_0c^2(1+z)^\gamma\int d\ln M\, M\Phi_M \left(\frac{M}{10^8M_\odot}\right)^\alpha

Это уже полностью реализуемая численно модель.

В этих уравнениях \(\Gamma_X\) является эффективной скоростью с учётом выхода и условного усреднения по спину. Её нельзя повторно умножать на выход. Для этого предположения ещё необходимо задать нормированное распределение спинов, функцию масс, конечные границы масс и бюджет источника.

27. Эталонная модель, связанная с аккрецией

Более физически прозрачный вариант:

Q_X=f_{\rm conv}\epsilon_{\rm acc}\dot\rho_{\rm acc}c^2

Здесь:

\dot\rho_{\rm acc}=\int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}\dot M_{\rm acc}

Тогда:

Q_X=f_{\rm conv}\epsilon_{\rm acc}\dot\rho_{\rm acc}c^2

Это особенно удобно, поскольку \(\dot\rho_{\rm acc}\) связана с плотностью светимости AGN через аргумент Солтана.

Здесь \(\dot M_{\rm acc}=\dot M_{\rm in}\) является скоростью поступления массы покоя, а не чистого роста BH; \(\dot\rho_{\rm acc}\) задаёт эту скорость на физический объём, а не полную производную физической плотности BH. Эффективность относится к полной выделенной мощности, определённой в разделе 4.

28. Энергетическое условие по порядку величины

Для стабильной компоненты, рождающейся холодной, современная плотность энергии при постоянной доле преобразования равна \(\rho_{X,0}=f_{\rm conv}\bar U_{\rm available}\), где \(\bar U_{\rm available}=\int a^3\dot u_{\rm available}\,dt\). Множитель \(a^3\) переводит физическую плотность мощности в мощность на сопутствующий объём. Поэтому:

\xi_0=\frac{\rho_{X,0}}{\rho_{{\rm DM},0}},\qquad f_{\rm conv,req}=\frac{\xi_0\rho_{{\rm DM},0}}{\bar U_{\rm available}}.

Если требуемая доля превышает единицу, выбранный источник энергии не обеспечивает целевое содержание. Значение ниже единицы проходит только энергетическую проверку.

Для иллюстративной оценки только канала SMBH примем преобладание аккреционного роста, пренебрежимо малые массы зародышей и потери при слияниях, постоянную полную эффективность выделения энергии \(\epsilon_{\rm acc}=0.1\) и стабильные частицы, рождающиеся холодными. Используем классическую оценку локальной плотности массы Marconi et al. [8], пересчитанную к \(h=0.674\), и значение Planck для базовой ΛCDM \(\Omega_ch^2=0.120\) [1]:

\rho_{{\rm BH},0}\simeq4.26\times10^5\,M_\odot\,{\rm Mpc}^{-3},\qquad \rho_{{\rm DM},0}/c^2\simeq3.33\times10^{10}\,M_\odot\,{\rm Mpc}^{-3}.

\bar U_{\rm available}/c^2\simeq\frac{\epsilon_{\rm acc}}{1-\epsilon_{\rm acc}}\rho_{{\rm BH},0}\simeq4.74\times10^4\,M_\odot\,{\rm Mpc}^{-3}.

\xi_0\simeq1.42\times10^{-6}f_{\rm conv}.

Доля преобразования 0,01 даёт \(\xi_0\simeq1.4\times10^{-8}\). Алгебраически для \(\xi_0=10^{-6}\) нужна доля около 0,70, уже вне режима слабого преобразования; при этом потребуется заново согласовать видимые светимости AGN и рост BH. Это не установленное допустимое решение с высокой эффективностью.

Одна лишь приведённая в [8] асимметричная погрешность даёт примерно \((1.0-2.0)\times10^{-6}\) для коэффициента перед долей преобразования. Она не включает неопределённости эффективности, зародышей, скрытого роста и локальных масштабных соотношений. Альтернативные оценки плотности массы могут существенно отличаться [5]. При релятивистском рождении дополнительная энергия теряется из-за красного смещения. Другие популяции BH, вращательные каналы и слияния требуют собственных бюджетов. Поэтому эта оценка ограничивает выбранную модель, но не устанавливает универсальную верхнюю границу и не является обнаружением.

29. Что означает малое \(f_{\rm conv}\)

Если расчёт даёт, например,

f_{\rm conv}\sim10^{-6}

это означает лишь, что для получения соответствующей субкомпоненты требуется преобразовать одну миллионную долю доступного энергетического потока.

Такой результат:

f_{\rm conv}\ll1

не является автоматически свидетельством физической реализуемости.

Необходимо показать, что конкретная микрофизика действительно допускает такое значение.

30. Нулевые модели

Нулевой моделью является случай без источника. Остальные случаи являются конкурирующими моделями источника, а не независимыми нулевыми гипотезами. Перед сравнением необходимо задать их амплитуды, начальные условия и априорные распределения.

Модель 1

\[Q_X=0\]

Стандартная \(\Lambda\)CDM.

Модель 2

Q_X\propto\rho_{\rm BH}(z)

Модель 3

Q_X\propto\dot\rho_{\rm acc}(z)

Модель 4

Q_X(t)=\mathcal E_*\delta(t-t_*)

Амплитуда \(\mathcal E_*\) является энергией на физический объём в момент инжекции. Дельта-функция Дирака имеет размерность обратного времени, поэтому \(Q_X\) имеет требуемую размерность плотности мощности.

Модель 5

Модель рождения частиц посредством излучения Хокинга PBH.

Это покажет, действительно ли данные предпочитают источник, зависящий от истории BH.

31. Основное предсказание модели

Если источник связан с историей аккреции:

Q_X(z)\propto\dot\rho_{\rm acc}(z)

тогда:

\rho_X(z)=\int^t dt'\,\dot\rho_{\rm acc}(t')c^2\epsilon_{\rm acc}f_{\rm conv} \left(\frac{a'}a\right)^3

Следовательно, тёмная компонента должна иметь ядро памяти, связанное с историей роста AGN/BH.

Это основная отличительная особенность модели.

32. Предсказание пространственной корреляции

Если источник связан с BH:

Q_X(\mathbf x) \propto n_{\rm BH}(\mathbf x)

или

Q_X(\mathbf x) \propto \dot\rho_{\rm acc}(\mathbf x)

тогда возникает корреляция между \(X\) и популяцией галактик/AGN.

Можно исследовать кросс-спектр мощности:

P_{X,g}(k,z)

Если \(\xi\) достаточно велика:

P_{X,g}\neq0

может стать наблюдаемым.

Ненулевая корреляция с галактиками не уникальна для этого механизма: обычная холодная тёмная материя тоже коррелирует с галактиками. Полезная проверка должна отличать предсказанные зависимости от масштаба, красного смещения и амплитуды от стандартной кластеризации и астрофизических эффектов отбора.

33. Предсказание профилей гало

Если созданная \(X\) остаётся гравитационно связанной:

f_{\rm bound}\neq0

тогда источник наиболее силён в областях с высокой плотностью BH.

Однако это автоматически не означает центрального пика.

Перенос может сгладить профиль:

\rho_X(r,t)=\int_{t_i}^{t}dt'\int_0^\infty4\pi r'^2dr'\,K_r(r,t|r',t')Q_X(r',t')

Поэтому центральное усиление необходимо рассчитать, а не предполагать.

В этом локальном выражении для гало \(r\) и \(r'\) являются физическими радиусами, а ядро включает необходимые преобразования объёма, перенос и выживание. Это другая нормировка, чем у ядра в сопутствующих координатах раздела 17.

34. Возможная связь с галактической морфологией

Если производство связано с активностью AGN, то:

Q_X \sim Q_X({\rm AGN})

Тогда эллиптические галактики и массивные балджи могут иметь усиленную историю источника.

Однако текущая зависимость от морфологии слишком сложна, чтобы превратить её в конкретное предсказание без синтеза популяции.

Поэтому в данной работе это остаётся вторичным наблюдаемым эффектом.

35. Канал гравитационных волн

Слияния BH порождают:

E_{\rm GW} \sim \eta_{\rm GW}Mc^2

Если преобразование в тёмный сектор связано с динамикой слияний:

E_X=f_{\rm merger}E_{\rm available}

тогда:

Q_X^{\rm merger}=\int dM_1\,dM_2\,R_{\rm merge}f_{\rm merger}E_{\rm available}

Однако текущая популяция GW не требует такого дополнительного канала.

Поэтому канал слияний следует рассматривать как отдельное проверяемое расширение.

Анализы данных LVK также сильно ограничивают возможность того, что наблюдаемая популяция BH звёздных масс в значительной степени состоит из PBH; например, один из анализов O3 даёт \(f_{\rm PBH}\lesssim10^{-3}\) в диапазоне \(1-200M_\odot\) для рассматриваемых сценариев.

Частота слияний в интеграле источника задаётся на физический объём, собственное время источника и интервалы масс компонентов при фиксированном красном смещении. Переход от наблюдаемого распределения событий требует множителей объёма и замедления времени; интегрирование по красному смещению относится к последующему расчёту космической истории. Ограничения содержания PBH зависят от принятой функции масс, образования двойных систем и кластеризации и не ограничивают непосредственно эту эффективность тёмного излучения.

36. Электромагнитные ограничения

Если производство тёмного сектора сопровождается излучением в видимом секторе:

X\rightarrow\gamma+\cdots

тогда необходимо учитывать:

\Delta I_\gamma(E)

космический рентгеновский фон,

гамма-фон,

радиофоны.

Следовательно:

f_{\rm conv}

нельзя рассматривать независимо от ветвлений распада.

37. Ограничения CMB

Ввод энергии в видимый сектор может изменять ионизацию, температуру газа и анизотропии CMB. Мгновенное излучение при рождении и последующий распад частиц являются разными источниками. Для нерелятивистских частиц со временем жизни в системе покоя \(\tau_X\) доля распадов в видимый сектор даёт:

Q_{\rm vis,dec}=f_{\rm vis}\rho_X/\tau_X.

Передача энергии газу в общем случае не является мгновенной или полной. Она требует расчёта переноса с зависимостью от энергии и красного смещения. Ограничения должны следовать из полученной истории ионизации и CMB, а не из универсального поточечного потолка для \(Q_X(z)\). Даже полностью невидимая компонента влияет на расширение и гравитационные возмущения.

38. Крупномасштабная структура

Для холодной субкомпоненты:

\delta_X

может быть близким к стандартному возмущению CDM.

Для тёплой компоненты:

\lambda_{\rm FS}

может подавлять мощность на малых масштабах.

Следовательно, модель должна удовлетворять:

\left| \frac{\Delta P(k)} {P_{\Lambda{\rm CDM}}(k)} \right| < \varepsilon_P(k,z)

39. Обилие гало

Если \(X\) появляется поздно, она может не успеть принять участие в раннем формировании гало.

Для стабильного холодного компонента с неотрицательным источником и сохраняющимся холодным эталонным компонентом доля растёт к настоящему времени:

\xi(z_{\rm form})\le\xi(z_0)

Это приводит к потенциальному различию между:

- общим количеством вещества сегодня;

- веществом, доступным во время раннего формирования структуры.

Этот эффект является одним из наиболее сильных способов проверки сценария позднего источника.

40. Локальное ограничение Млечного Пути

Для нашей Галактики:

Q_X(\mathbf r)=\sum_iL_{X,i}\delta^3(\mathbf r-\mathbf r_i)

Основной вклад может исходить от центральной SMBH или от всей популяции BH звёздных масс.

Однако не следует предполагать:

Q_X\sim Q_{\rm SMBH}

без расчёта популяции.

Если звёздных BH много, их интегральный вклад может конкурировать с вкладом SMBH.

41. Звёздные и сверхмассивные BH

Модель должна различать:

Q_X=Q_X^{\rm stellar}+Q_X^{\rm intermediate}+Q_X^{\rm SMBH}

Если:

\Gamma_X\propto M^\alpha

тогда относительный вклад определяется не только числом объектов, но и весом по массе:

Q_i\propto\int d\ln M\,M^{1+\alpha}\Phi_i(M)

Это делает показатель \(\alpha\) критически важным.

42. Зависимость от спина

Если:

\Gamma_X=\Gamma_0g(\chi)

тогда:

Q_X \propto \langle g(\chi)\rangle

Для механизма сверхизлучения:

g(\chi)

может резко возрастать со спином.

Тогда содержание зависит от истории спинов через интеграл источника. Его параметр плотности определяется как:

\Omega_X(z)=\rho_X(z)/(\rho_{\rm crit}(z)c^2)

Здесь \(\rho_{\rm crit}=3H^2/(8\pi G)\) является критической плотностью массы; множитель \(c^2\) переводит её в плотность энергии. Само определение не является наблюдательным предсказанием.

43. Информация, закодированная в популяции BH

Таким образом, популяция BH действует как своего рода космический интегратор:

\{M,\chi,\dot M,z\} \rightarrow Q_X

Текущий каталог BH содержит неполную информацию о прошлом.

Поэтому требуется реконструкция:

P(M,\chi,\dot M|z)

Это исторический синтез популяции.

44. Исторический поток и текущая активность

Рассмотрим два сценария.

Модель A

Q_X(z)\propto\rho_{\rm BH}(z)

Модель B

Q_X(z)\propto\dot\rho_{\rm acc}(z)

Они могут давать одинаковый \(Q_X(z=0)\), но совершенно разные:

\rho_X(z)

Следовательно, измерения только сегодняшней плотности BH недостаточно.

Необходимо восстановить:

\[Q_X(z)\]

на протяжении всей космической истории.

45. Связь с функциями светимости AGN

Пусть \(\bar\Phi_L(L,z)=dN/(dV_{\rm com}\,d\ln L)\) является болометрической функцией светимости видимых AGN с поправками на отбор и поглощение. В модели распределения энергии из раздела 4 при постоянном \(0\le f_{\rm conv}<1\):

Q_X(z)=a^{-3}\frac{f_{\rm conv}}{1-f_{\rm conv}}\int d\ln L\,\bar\Phi_L(L,z)L.

Множитель \(a^{-3}\) переводит сопутствующую плотность светимости в физическую плотность источника. При слабом преобразовании отношение приблизительно равно \(f_{\rm conv}\). Если эффективность зависит от светимости, она должна находиться внутри интеграла. Нельзя выводить высокую эффективность преобразования, одновременно сохраняя неизменными видимую функцию светимости и стандартную калибровку роста BH.

46. Проверка согласованности типа Солтана

При постоянной полной эффективности выделения энергии аккреционный вклад в рост сопутствующей плотности массы BH удовлетворяет:

\frac{d\bar\rho_{{\rm BH},\rm acc}}{dt}=(1-\epsilon_{\rm acc})\dot{\bar\rho}_{\rm in}.

Соответствующий физический источник тёмной компоненты равен:

Q_X=a^{-3}f_{\rm conv}\frac{\epsilon_{\rm acc}}{1-\epsilon_{\rm acc}}c^2\frac{d\bar\rho_{{\rm BH},\rm acc}}{dt}.

Производная здесь относится только к массе, накопленной аккрецией на сопутствующий объём; образование зародышей, потери при слияниях и выброшенные объекты требуют отдельного учёта. Эффективность видимого излучения равна \((1-f_{\rm conv})\epsilon_{\rm acc}\). Поэтому светимости AGN и демография BH совместно ограничивают распределение энергии. Скрытый или радиационно неэффективный рост вносит систематическую неопределённость, но не даёт неограниченного энергетического запаса [5, 6, 7, 9].

47. Фундаментальное ограничение

Даже если:

f_{\rm conv}\ll1

энергетически достаточно, это всё равно не доказывает существование связи с тёмным сектором.

Прохождение энергетической проверки не устанавливает микроскопического механизма рождения.

Это фундаментальное ограничение данной модели.

48. Критерии фальсификации

Гипотеза должна считаться исключённой в данной области параметров, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Энергетическая невозможность

f_{\rm conv}>1

2. Нарушение ограничений CMB

Предсказанная история ионизации или CMB, исключённая совместным анализом данных.

3. Нарушение ограничений структуры

\Delta P(k)

превышает допустимый диапазон.

4. Нарушение ограничения по свободному пробегу

\lambda_{\rm FS}

слишком велика.

5. Нарушение демографических ограничений BH

Обратная реакция существенно изменяет наблюдаемую функцию масс BH.

6. Нарушение ограничений по фонам

Произведённые видимые вторичные частицы превышают космические фоны.

7. Несогласованность популяции

Не существует допустимой

\Phi(M,\chi,z)

которая даёт требуемую \(Q_X\).

Эти критерии исключают конкретные параметры после совместного анализа данных. Свободную эффективность, стремящуюся к нулю, нельзя исключить одним отсутствием сигнала. Ограничения по свободному пробегу и видимой энергии зависят от содержания, спектров и передачи энергии; универсального порога без этих предположений нет.

49. Положительный тест

Положительный результат не должен формулироваться как:

«мы нашли тёмную материю в чёрных дырах».

Вместо этого его следует сформулировать гораздо строже:

D \Rightarrow Q_X(z) \neq0

и одновременно:

\[Q_X(z)\]

должен статистически коррелировать с

\Phi_{\rm BH}(M,\chi,z)

или

\Phi_{\rm AGN}(L,z)

То есть необходимо обнаружить компоненту тёмного сектора, зависящую от истории BH.

Такое свидетельство потребует статистического предпочтения ненулевого источника в конкретной модели и исключения правдоподобных альтернатив, включая обычное смещение галактик. Одна корреляция не устанавливает микроскопическое происхождение.

50. Статистическая модель

Параметры:

\theta= \{ f_{\rm conv},\alpha,\beta,\gamma, m_X,\tau_X, f_{\rm bound}, f_{\rm vis} \}

Функция правдоподобия:

\mathcal L(\theta)=\mathcal L_{\rm CMB}\mathcal L_{\rm LSS}\mathcal L_{\rm BH}\mathcal L_{\rm GW}\mathcal L_{\rm EM}

Апостериорное распределение:

P(\theta|D) \propto \mathcal L(D|\theta) \pi(\theta)

Основной параметр:

\xi= \frac{\Omega_X}{\Omega_{\rm DM}}

Произведение функций правдоподобия допустимо только для условно независимых наборов данных; пересекающиеся выборки и общие систематические ошибки требуют совместной ковариации. \(\xi\) выводится из нормировки источника и эволюции, а не является дополнительным независимым содержанием для подгонки. Вырожденные параметры скорости и выхода требуют независимых данных либо сокращения набора параметров.

51. Иерархический вывод о популяции

Вместо фиксированной функции масс BH:

\Phi(M,z)

её следует рассматривать как латентную модель популяции:

\Phi(M,z|\psi)

где \(\psi\) обозначает параметры эволюции популяции.

Тогда:

P(\xi,\psi|D) \propto P(D|\xi,\psi) P(\xi)P(\psi)

Это позволяет учитывать неопределённость демографии BH.

Произведение априорных распределений предполагает априорную независимость. Если содержание выводится из параметров источника и популяции, нужно использовать их совместное распределение и порождённое им распределение содержания, а не задавать одной величине два несвязанных априорных распределения.

52. Минимальный численный эксперимент

Минимальный численный конвейер должен включать:

\Phi(M,z) \rightarrow \dot M(M,z) \rightarrow Q_X(z) \rightarrow \rho_X(z) \rightarrow \xi(z)

после чего следует расчёт:

\[P(k,z)\]

C_\ell^{TT,TE,EE,\phi\phi}

и наблюдаемых характеристик гало.

53. Сканирование эталонных параметров

Как минимум необходимо исследовать:

10^{-8} \le f_{\rm conv} \le 10^{-1}

-2\le\alpha\le2

-4\le\gamma\le4

а для частицы тёмного сектора:

10^{-6}\,{\rm eV} \le m_Xc^2 \le 10^6\,{\rm GeV}

Это не утверждение о допустимости всего диапазона; это диапазон для первоначального численного сканирования.

Это поисковые координаты, а не доказанный доступный диапазон масс. Конкретный механизм рождения определяет пороги и спектр; плазма с энергией порядка кэВ не может термически порождать произвольно тяжёлые частицы. Нужно включить случай без источника и при необходимости меньшие доли преобразования. Сканирование параметров в этой работе не выполнено.

54. Основные ожидаемые режимы

Режим I - пренебрежимо малый

\xi\ll10^{-6}

Космологически малое содержание; обнаружимость всё равно зависит от взаимодействия и наблюдаемой величины, а не только от этой доли.

Режим II - слабая субкомпонента

10^{-6}\lesssim\xi\lesssim10^{-3}

Поисковый интервал, а не естественное следствие слабой связи. Модель слабого преобразования на SMBH даёт меньшие значения.

Режим III - заметная субкомпонента

10^{-3}\lesssim\xi\lesssim10^{-1}

Требует отдельно обоснованного источника энергии и более строгих наблюдательных проверок. Бюджет модели из раздела 28 его не поддерживает.

Режим IV - доминирующий

\xi\sim1

Наиболее жёсткий сценарий, не являющийся основной целью данной работы.

55. Почему \(\xi\sim1\) не является центральной целью

Для доминирующей компоненты необходимо воспроизвести:

\Omega_{\rm DM}

\[P(k)\]

C_\ell

обилие гало,

динамику галактик

одновременно.

Время рождения компоненты является отдельным ограничением.

Если большая часть DM появляется слишком поздно, она не участвует в раннем формировании структуры.

Поэтому субдоминантный сценарий является существенно более консервативной гипотезой.

56. Сравнение с тёмной материей из PBH

В первом случае история источника определяется ранней космологией.

Во втором случае:

\[Q_X(z)\]

следует истории звездообразования, формирования галактик, активности AGN и роста BH.

Это принципиально разные наблюдательные сигнатуры.

Первичное происхождение: ранняя Вселенная создаёт PBH; выжившие PBH могут сами составлять часть тёмной материи, а испаряющаяся популяция может порождать новые частицы. Астрофизическое происхождение: звёздная эволюция или образование массивных зародышей создают BH, окружение которых позднее может служить источником X.

57. Связь с физикой скрытого сектора

Тёмная материя скрытого сектора уже изучается в теориях, где тёмные частицы очень слабо взаимодействуют с видимым сектором или взаимодействуют преимущественно гравитационно.

Особенно интересен сценарий, в котором обычные астрофизические объекты выступают посредниками между секторами.

В этом смысле модель источника BH можно рассматривать как форму:

астрофизическую связь между видимым и скрытым секторами.

Однако конкретный портал должен быть задан отдельной физической моделью.

58. Связь с существующими работами и границы новизны

Рождение тёмных частиц около аккрецирующих астрофизических BH уже изучалось, включая процессы в тепловой плазме, ускорение существующих тёмных частиц и сверхизлучение. Помимо литературы о PBH, непосредственно относится к теме работа Cai et al. [14]. Ускорение уже существующих частиц не создаёт нового запаса массы покоя.

Предлагаемая схема объединяет историю популяции, преобразование, выживание и перенос для согласованного учёта. Интегрирование источника по времени является стандартной процедурой. Запись этого интеграла не обосновывает приоритет. Самостоятельный вклад потребует рассчитанного выхода популяции, нового ограничения или наблюдаемого признака с количественным сравнением с существующими моделями.

59. Наиболее сильная формулировка гипотезы

Наиболее сильная формулировка гипотезы такова:

Условная гипотеза состоит в том, что компонента \(X\), если она рождается посредством определённого механизма астрофизических BH, имеет содержание, определяемое историей источника. Для изначально отсутствующих стабильных холодных частиц получается приведённая ниже форма с \(\mathcal S_X=1\). Конечное нерелятивистское время жизни добавляет коэффициент выживания из раздела 7.

Математически:

\rho_X(t)=\int_{t_{\rm form}}^t dt'\int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}(M,\chi,t')\,\Gamma_{\rm BH}(M,\chi,t')\,Y_X(M,\chi,t')Mc^2\left[\frac{a(t')}{a(t)}\right]^3\mathcal S_X(t',t)

Это центральное уравнение модели.

60. Оптимистичная энергетическая оценка

Для минимальной модели примем:

\[Y_X=1\]

f_{\rm bound}=1

f_{\rm surv}=1

но будем интерпретировать их как оптимистичную верхнюю границу.

Тогда:

Q_X^{\rm max}=f_{\rm conv}\dot u_{\rm available}

Если даже эта верхняя граница не позволяет получить требуемую \(\xi\), модель исключается.

Если позволяет, начинается второй этап:

\[Y_X<1\]

перенос,

свободный пробег,

распад,

видимая ветвь распада.

61. Логика верхней границы

Таким образом, анализ следует проводить в следующем порядке:

Энергетический бюджет → ограничения популяции → космологическая эволюция → перенос; для связи этих этапов необходим микроскопический механизм.

Это предотвращает чрезмерную интерпретацию результата.

62. Возможный результат численного анализа

Возможны три ситуации.

Случай A

f_{\rm conv}>1

Гипотеза энергетически невозможна.

Случай B

10^{-10}<f_{\rm conv}<10^{-3}

Требуемая доля проходит энергетическую проверку для выбранных содержания и источника энергии. Ещё необходимо установить микроскопический механизм, спектр и согласие с наблюдениями; универсальная сила взаимодействия из этого числа не следует.

Случай C

f_{\rm conv}\sim10^{-1}-1

Гипотеза становится существенно более ограниченной и требует очень эффективной связи с тёмным сектором.

63. Необходимое продолжение работы

Следующий этап должен быть вычислительным, а не концептуальным.

Необходимо построить:

Этап 1

Эмпирическую функцию масс BH.

Этап 2

Распределение спинов.

Этап 3

Функцию светимости AGN.

Этап 4

Историческую плотность аккреции.

Этап 5

Интегральную по популяции \(Q_X(z)\).

Этап 6

Эволюцию по уравнению Больцмана.

Этап 7

Спектр мощности вещества.

Этап 8

Функцию правдоподобия CMB/LSS.

64. Ожидаемая форма результата

Результатом должно быть ограничение:

\xi < \xi_{\rm max}(m_X,\alpha,\gamma,f_{\rm vis},\ldots)

а не одно произвольное число.

Например:

\xi_{\rm max}=\xi_{\rm max}(m_X,\alpha,\gamma)

Это делает результат пригодным для публикации и последующего сравнения с другими моделями тёмного сектора.

65. Основной наблюдательный критерий различения

Наиболее интересная проверка:

связь гипотетической тёмной компоненты с историей роста BH.

Если создаваемая компонента возникает в результате первичного механизма, её плотность определяется ранней Вселенной.

Если:

Q_X\propto\dot\rho_{\rm acc}

тогда она должна быть связана с космической историей AGN.

количественно отличимую корреляцию с историей BH/AGN после учёта обычной кластеризации галактик.

66. Ограничения этого препринта

Ограничения следует сформулировать явно.

1.

Конкретное фундаментальное взаимодействие не выведено.

2.

Существование излучения в тёмный сектор из астрофизических BH не продемонстрировано.

3.

Полный численный синтез популяции не выполнен.

4.

Анализ функции правдоподобия Больцман/CMB не выполнен.

5.

Точное значение \(f_{\rm bound}\) не рассчитано.

6.

Спектр рождения \(dN_X/dp\) не задан.

7.

Не все альтернативные источники исключены.

Работа остаётся феноменологической исследовательской схемой с иллюстративным расчётом энергетического бюджета. Тёмная компонента не обнаружена, микроскопическая скорость рождения не выведена; не заявляется, что какая-либо область космологических параметров прошла полный анализ функции правдоподобия.

67. Что утверждает статья

Обоснованный результат является условной оценкой бюджета: для заданной модели аккреции на SMBH \(\xi_0\simeq1.42\times10^{-6}f_{\rm conv}\). Поэтому космологически заметное содержание трудно получить при слабом преобразовании. Оценка не устанавливает существование самого преобразования. Вопрос о том, порождает ли конкретное взаимодействие стабильные частицы с нужными спектром, выживанием и кластеризацией, остаётся открытым.

68. Чего статья НЕ утверждает

В этой работе BH не отождествляются со всей тёмной материей или с белыми дырами. Предложенная схема не устанавливает существование дочерней вселенной или процесса квантовой гравитации.

69. Спекулятивные расширения

Переходы от чёрной дыры к белой, дочерние вселенные и процессы изменения топологии являются спекулятивными расширениями. Они требуют причинной и динамической модели за пределами этой работы и не используются в энергетической оценке или основных уравнениях источника.

70. Заключение

Предложена феноменологическая модель для проверки гипотезы о том, что астрофизические чёрные дыры могут быть источником субдоминантной компоненты тёмного сектора.

Ключевое уравнение:

\dot\rho_X+3H\rho_X=Q_X

с источником, интегрированным по популяции:

Q_X=c^2\int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}M\Gamma_{\rm BH}Y_X

Историческая плотность компоненты:

\rho_X(t)=\int^t dt'\,Q_X(t')\left(\frac{a'}a\right)^3\mathcal S_X

Это приводит к центральному выводу:

Современная популяция BH и её историческое энерговыделение являются разными величинами, связанными общим бюджетом роста и энергии.

Проверка должна совместно использовать популяцию и историю её роста. Современная плотность массы BH остаётся важным интегральным ограничением через энергетический баланс; её нельзя просто отбросить в пользу исторического запаса энергии.

\Phi_{\rm BH}(M,\chi,z)+\dot M_{\rm acc}(M,\chi,z)\rightarrow Q_X(z)\rightarrow\rho_X(z)

Иллюстративный бюджет SMBH даёт \(\xi_0\simeq1.42\times10^{-6}f_{\rm conv}\), поэтому преобразование одного процента обеспечивает около \(1.4\times10^{-8}\) принятой плотности тёмной материи. Более широкие каналы источника требуют дополнительных расчётов. Эта оценка не демонстрирует микроскопического канала и не устанавливает допустимость модели по наблюдениям.

Следовательно, центральный научный вопрос формулируется следующим образом:

Может ли конкретное причинно согласованное взаимодействие преобразовать доступную энергию в стабильные частицы, которые остаются достаточно холодными и удовлетворяют ограничениям по популяции, электромагнитным, гравитационным и космологическим данным?

Этот вопрос конкретен, количественен и потенциально фальсифицируем.

Приложение A. Уравнения и необходимые условия замыкания

Для стабильной однородной компоненты используются уравнение энергии и источник, интегрированный по популяции:

\dot\rho_X+3H(\rho_X+P_X)=Q_X,\qquad Q_X=\int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}L_X.

Для физической числовой плотности по массе и спину схематическое уравнение непрерывности популяции имеет вид:

\partial_t n_{\rm BH}+3Hn_{\rm BH}+\partial_M(\dot M n_{\rm BH})+\partial_\chi(\dot\chi n_{\rm BH})=S_{\rm seed}+S_{\rm merger,gain}-S_{\rm merger,loss}.

Члены образования зародышей и появления/исчезновения при слияниях не должны давать двойной учёт; ещё необходимо задать ядра слияний, эволюцию спина и граничные условия. Переход к сопутствующей популяции \(\bar n=a^3n\) устраняет явный член разбавления после согласованного преобразования всех членов.

В минимальной модели распределения энергии аккреции:

\dot M_{\rm BH}=(1-\epsilon_{\rm acc})\dot M_{\rm in},\qquad L_X=f_{\rm conv}\epsilon_{\rm acc}\dot M_{\rm in}c^2.

Вместе с фазовым уравнением раздела 24 и компенсирующими потерями раздела 11 это уравнения, которые нужно замкнуть конкретным механизмом и моделью популяции. Они ещё не составляют решённую космологическую модель.

Приложение B. Безразмерная формулировка

Определим:

x=\ln a

Тогда:

\frac{d\rho_X}{dx}+3\rho_X=\frac{Q_X}{H}

Для сопутствующей плотности:

\bar\rho_X=a^3\rho_X

получаем:

\frac{d\bar\rho_X}{dt}=a^3Q_X

Следовательно:

\bar\rho_X(t)=\int^t a^3(t')Q_X(t')dt'

Это наиболее удобная форма для численного интегрирования.

Приведённый интеграл предполагает нулевое начальное содержание, стабильные холодные частицы и отсутствие потерь; иначе добавляются начальный член и соответствующая эволюция потерь или импульсов. При переходе к красному смещению используется \(dt=-dz/[(1+z)H(z)]\) с обратным порядком пределов интегрирования.

Приложение C. Эффективная эффективность источника

Определим:

\epsilon_{\rm eff}(z)=\frac{Q_X}{\dot\rho_{\rm acc}c^2}

Тогда:

Q_X=\epsilon_{\rm eff}\dot\rho_{\rm acc}c^2

Если \(\epsilon_{\rm eff}\) - постоянна:

\rho_X(t)=\epsilon_{\rm eff}\int^t dt'\,\dot\rho_{\rm acc}(t')c^2\left(\frac{a'}a\right)^3

Если она зависит от массы:

\epsilon_{\rm eff}=\epsilon_0\left(\frac{M}{M_0}\right)^\alpha(1+z)^\gamma g(\chi)

Приложение D. Набор параметров эталонной модели

Минимальный набор параметров:

\theta=\{\epsilon_0,\alpha,\gamma,m_X,\tau_X,f_{\rm bound},f_{\rm vis}\}

Дополнительно:

\beta

для зависящего от массы выхода и

\chi_0

для зависимости от спина.

Приложение E. Основной критерий реализуемости

Для рассматриваемого субдоминантного сценария преобразования требуются \(0\le\xi<1\), физически доступный бюджет источника и механизм с допустимыми эффективностями. Полный предсказанный набор наблюдаемых величин, включая спектры мощности, CMB, видимые фоны и демографию BH, нужно сравнивать с совместной функцией правдоподобия, учитывающей ковариацию и вспомогательные параметры. Поточечные границы спектров или вводимой мощности являются лишь приближениями для конкретной модели. Прохождение этих проверок означало бы совместимость, но не открытие и не уникальность.

Приложение F. Рабочая классификация сценариев

Сценарий

Основной источник

Зависимость от времени

Основная проверка

Испарение PBH

Излучение Хокинга

ранняя Вселенная

BBN/CMB/гамма

Астрофизическая аккреция

рост AGN/BH

\(z\sim0-10\)

LSS/CMB/история BH

Слияние BH

энергия слияния

эпизодическая

корреляция с GW

Извлечение энергии вращения

вращение BH

зависимость от спина

популяция спинов BH

Микрофизика горизонта

неизвестна

зависит от модели

мультимессенджерная проверка

Приложение G. Основное фальсифицируемое предсказание

Если модель реализуется посредством источника, связанного с аккрецией:

Q_X(z)\propto\dot\rho_{\rm acc}(z)

тогда плотность \(X\) должна иметь определённое временное ядро:

\[K_X(z,z')\]

Следовательно, различные наблюдаемые характеристики тёмного сектора должны согласовываться с одной и той же функцией:

\[K_X(z,z')\]

Это позволяет перейти от простого утверждения о возможности тёмной материи, создаваемой BH, к количественной проверке гипотезы.

Литература и основные ориентиры

Planck Collaboration. Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters. arXiv:1807.06209.
J. Auffinger. Primordial black hole constraints with Hawking radiation - a review. arXiv:2206.02672.
N. Bernal, Ó. Zapata. Dark Matter in the Time of Primordial Black Holes. arXiv:2011.12306.
P. Gondolo, P. Sandick, B. Shams Es Haghi. The Effects of Primordial Black Holes on Dark Matter Models. arXiv:2009.02424.
A. Comastri et al.. Mass without radiation: heavily obscured AGN, the X-ray Background and the Black Hole Mass Density. arXiv:1501.03620.
Q. Yu, Y. Lu. Toward precise constraints on growth of massive black holes. arXiv:0808.3777.
A. Merloni. Cosmological evolution of supermassive black holes and AGN: a synthesis model for accretion and feedback. arXiv:0808.0070.
A. Marconi et al.. Local Supermassive Black Holes, Relics of Active Galactic Nuclei and the X-ray Background. arXiv:astro-ph/0311619.
K. Jahnke. The Soltan argument at z=6: UV-luminous quasars contribute less than 10% to early black hole mass growth. arXiv:2411.03184.
M. Andrés-Carcasona et al.. Constraints on primordial black holes from LIGO-Virgo-KAGRA O3 events. arXiv:2405.05732.
R. Foot, S. Vagnozzi. Dissipative hidden sector dark matter. arXiv:1409.7174.
A. Boudon et al.. Baryogenesis through Asymmetric Hawking Radiation from Primordial Black Holes as Dark Matter. arXiv:2010.14426.
K. Agashe et al.. Light in the Shadows: Primordial Black Holes Making Dark Matter Shine. arXiv:2409.13811.
R.-G. Cai, S. Sun, B. Zhang, Y.-L. Zhang. Dark fluxes from accreting black holes through several mechanisms. arXiv:2009.02315.
K. A. Malik, D. Wands. Cosmological perturbations. arXiv:0809.4944.

Итоговая формулировка

Предложенная модель не требует предположения, что сами чёрные дыры являются тёмной материей.

Она рассматривает более слабую и проверяемую возможность:

Популяция BH обеспечивает гипотетический тёмный источник с заданной эффективностью преобразования.

\epsilon_X\ll1

\Omega_X<\Omega_{\rm DM}

Наиболее важным объектом исследования является не отдельная чёрная дыра, а интегральный исторический поток:

\mathcal T_X=\int Q_X(t)\left(\frac{a(t)}{a_0}\right)^3dt

Таким образом, гипотеза превращается из спекулятивного утверждения в задачу синтеза популяции + эволюции по Больцману + космологического вывода.

Её окончательный статус должен определяться не одной лишь энергетической оценкой, а совокупным результатом:

Демография BH, история аккреции, микроскопические взаимодействия, перенос, CMB, крупномасштабная структура и наблюдения с помощью разных носителей информации.

При таком формулировании гипотезу можно превратить в количественно проверяемую модель субдоминантной компоненты тёмного сектора.