dimabagow

Bela rupa

ASTROFIZIČKE CRNE RUPE KAO POTENCIJALNI IZVOR SUBDOMINANTNE KOMPONENTE TAMNOG SEKTORA

Energetsko ograničenje, istorijski populaciono-integrisani protok i fenomenološki okvir izvornog člana

Preprint

Apstrakt

Ispituje se mogućnost stvaranja stabilne, subdominantne komponente tamnog sektora iz energije oslobođene izvan horizonata astrofizičkih crnih rupa koje akretuju. Stvaranje čestica u spoljašnjoj plazmi i izvlačenje energije rotacije zahtevaju konkretne interakcije. Energija koja je prešla klasični horizont događaja ne može se jednostavno vratiti napolje zato što su njeni proizvodi nevidljivi; svaki alternativni proces povezan sa horizontom zahteva poseban kauzalno dosledan mehanizam.

Rad namerno ne tvrdi da su obične astrofizičke crne rupe priroda tamne materije. Umesto toga, formulišemo užu hipotezu: postojeća kosmička populacija crnih rupa može predstavljati dodatni izvorni član za tamnu materiju ili neku drugu stabilnu komponentu tamnog sektora.

Glavni objekat analize definisan je jednačinom

\[\dot\rho_X+3H(\rho_X+P_X)=Q_X,\qquad w_X=P_X/\rho_X\]

gde je \(X\) stabilna komponenta tamnog sektora, a \(Q_X\) kosmološki izvorni član. Za nerelativističku komponentu

\[\dot{\rho}_{X}+3H\rho_X=Q_X\]

Izvor se izražava integracijom preko populacije crnih rupa:

\[Q_X(z)= \int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}(M,\chi,z)\,\Gamma_{\rm BH}(M,\chi,z)\,Y_X(M,\chi,z)\,M c^2\]

gde je \(n_{\rm BH}\) fizička raspodela po masi i spinu, \(\Gamma_{\rm BH}\) efektivna relativna stopa konverzije energije, a \(Y_X\) udeo konvertovane energije koji ulazi u razmatranu komponentu.

Model razlikuje efikasnost pretvaranja, zadržavanje u halou i preživljavanje čestica:

\[\epsilon_X\equiv Q_X/(\dot\rho_{\rm BH,feed}c^2)\]
\[f_{\rm bound}\]

i

\[f_{\rm surv}\]

koje redom opisuju efikasnost konverzije, udeo energije/čestica koje ostaju gravitaciono vezane za halo i udeo koji preživljava do razmatrane epohe.

Raspoloživa energija predstavlja kvantitativno ograničenje. Procena pomoću Soltanovog argumenta u odeljku 28 daje današnji udeo od približno 1,4 × 10⁻⁶ pomnožen efikasnošću pretvaranja za usvojeni budžet akrecije na supermasivne BH. Zatim se zasebno proveravaju kinematika, kosmološka evolucija, zračenje i ograničenja populacije.

Uvodi se koncept istorijskog protoka:

\[\mathcal T_X(t)= \int_{t_{\rm form}}^{t} dt'\,Q_X(t') \left[\frac{a(t')}{a(t)}\right]^3 \mathcal S_X(t',t)\]

Za hladne čestice \(\mathcal S_X\) je verovatnoća preživljavanja; jednaka je jedinici kada se čestice ne raspadaju niti nestaju u drugim procesima. Napuštanje haloa ne smanjuje ukupan kosmički sadržaj. Relativističko crveno pomeranje zahteva praćenje impulsa opisano u odeljku 24.

Ovo razlikuje hipotezu koja zavisi od trenutne gustine crnih rupa od one kojom dominira integrisana istorija rasta crnih rupa.

Rad ne uvodi specifičnu mikroskopsku teoriju tamnog sektora. Umesto toga, konstruiše minimalni fenomenološki okvir u kojem je mikrofizika sažeta u skup parametara

\[\{\Gamma_0,\alpha,\beta, \epsilon_X, f_{\rm bound}, f_{\rm surv}, m_X,\sigma_X,\ldots\}\]

Za subdominantnu komponentu zahtevamo

\[\Omega_X < \Omega_{\rm DM}\]

Ranije razmatrani istraživački interval

\[10^{-6}\lesssim \frac{\Omega_X}{\Omega_{\rm DM}} \lesssim 10^{-1}\]

nije dozvoljena oblast izvedena iz podataka. Čak ni njena donja granica nije dostignuta pri slabom pretvaranju u navedenom SMBH modelu; treba uključiti i manje zastupljenosti. Rad daje ilustrativnu energetsku procenu, a ne prilagođavanje funkcije verodostojnosti ili dokaz nove komponente.

Prema tome, predložena hipoteza može biti pretvorena iz kvalitativne ideje u testirajući model: istorijska populacija crnih rupa mora biti rekonstruisana, \(Q_X(z)\) izračunat, proizvedena komponenta evoluirana, a CMB, velika struktura, dinamika haloa, indirektna detekcija, kosmičke pozadine i populaciona ograničenja moraju biti istovremeno testirani.

1. Uvod

Savremeni kosmološki model zahteva hladnu ili gotovo hladnu nevidljivu komponentu koja čini većinu materije u Univerzumu. Kosmološki podaci Planck daju

\[\Omega_c h^2\simeq 0.120\]

što odgovara dominantnoj nebarionskoj komponenti materije u standardnoj slici \(\Lambda\)CDM.

Poreklo tamne materije ostaje nepoznato.

Većina standardnih pristupa pretpostavlja da je tamna materija stvorena u ranom Univerzumu i da je nakon toga evoluirala uglavnom kao gotovo bezsudarna materija. Međutim, logički je moguća i druga klasa scenarija:

Obična materija → sistem sa BH koja akretuje → hipotetičke tamne čestice.

U tom slučaju tamni sektor ne mora biti u potpunosti primordijalna populacija ostataka. Deo njega može nastaviti da se proizvodi nakon formiranja prvih zvezda, galaksija i crnih rupa.

Ova mogućnost je predmet ovog rada.

Međutim, od samog početka je neophodno razlikovati dve hipoteze.

Hipoteza A

Primordijalne crne rupe (PBH) same predstavljaju tamnu materiju.

Hipoteza B

Obične astrofizičke crne rupe predstavljaju izvore dodatne komponente tamnog sektora.

Ovaj rad prvenstveno istražuje hipotezu B.

Ova razlika je važna.

PBH su mogle nastati u ranom Univerzumu i zaista se razmatraju kao moguća komponenta tamne materije; istovremeno, njihovo Hawkingovo zračenje može proizvoditi stabilne čestice tamnog sektora. Literatura pokazuje da isparavanje PBH može uticati na obilje ostataka i čak u potpunosti ili delimično proizvesti tamnu materiju u određenim opsezima parametara.

Ali astrofizičke crne rupe imaju drugačiju istoriju:

\[M\sim 3M_\odot\;\ldots\;10^9M_\odot\]

BH zvezdanih masa nastaju tokom evolucije zvezda, dok masivne početne crne rupe mogu nastati i direktnim kolapsom. Kasniji rast uključuje akreciju i spajanja unutar galaktičkih struktura koje evoluiraju. Prikazani raspon masa služi kao ilustracija, a ne kao granica opažene populacije.

Stoga izvor tamnog sektora u ovom slučaju ne mora biti Hawkingovo isparavanje.

Prirodnije fenomenološko pitanje je:

da li se mali deo energije koja prolazi kroz populaciju astrofizičkih crnih rupa može sistematski pretvoriti u stabilne stepene slobode tamnog sektora?

Ovo je centralna hipoteza ovog rada.

2. Status hipoteze

Predloženi model je fenomenološki model izvora, a ne potpuna fundamentalna teorija.

Ne tvrdimo postojanje specifične interakcije

\[\mathcal L_{\rm int}\]

između Standardnog modela i tamnog sektora.

Umesto toga, pretpostavljamo da postoji neki efektivni kanal

Spoljašnja okolina BH → X, ako postoji odgovarajuća interakcija.

gde je \(X\) stabilna ili dovoljno dugovečna čestica tamnog sektora.

U najopštijem obliku:

\[L_X=\epsilon_X\dot M_{\rm in}c^2\]

gde je

\[0\leq \epsilon_X\leq1\]

Ključni zadatak nije dokazati da je \(\epsilon_X\neq0\), već utvrditi da li posmatranja dopuštaju opseg

\[0<\epsilon_X\ll1\]

Ovaj opseg čini hipotezu fizički interesantnom.

3. Zašto su crne rupe prirodna meta za ovu pretragu

Aktivni sistemi sa BH koje akretuju ili rotiraju mogu pružiti sledeće uslove; ove osobine ne važe za svaku crnu rupu:

- visokom gustinom energije;

- jakim gravitacionim crvenim pomakom;

- visokim stopama akrecije tokom aktivnih faza;

- relativističkom plazmom;

- jakim magnetnim poljima u akrecionim sistemima;

- relativističkim mlazevima;

- velikim rezervoarom rotacione energije;

- fizikom na skali horizonta.

Pored toga, populacija crnih rupa ima značajnu integrisanu istoriju rasta.

Za SMBH, standardni Soltanov pristup povezuje integrisanu gustinu AGN luminoziteta sa akumuliranom gustinom mase crnih rupa. Posmatrana lokalna populacija crnih rupa uopšteno je u skladu sa tim da je značajan deo mase SMBH akumuliran kroz akreciju.

Stoga postoji prirodna veličina:

\[E_{\rm BH,history}=\int dt\,\dot E_{\rm acc}(t)\]

koja ima dimenziju energije, dok trenutna luminoznost ima dimenziju snage. Njihove brojčane vrednosti ne mogu se porediti bez zadatog vremenskog intervala. Integral mora biti saglasan i sa izmerenim rastom i energetskim bilansom populacije.

Zbog toga analiza mora biti usmerena ne na pojedinačnu crnu rupu, već na izvor integrisan preko populacije.

4. Energetsko ograničenje

U celom radu \(\rho_X\), \(\rho_{\rm DM}\) i \(P_X\) označavaju fizičke gustine energije i pritisak u istim jedinicama; \(Q_X\) je energija ubrizgana po jedinici fizičke zapremine i sopstvenog vremena. \(\rho_{\rm BH}\) je gustina mase crnih rupa. Crta iznad simbola označava veličinu po komovnoj zapremini, uz \(a(t_0)=1\). Bezdimenzioni spin je \(\chi=cJ/(GM^2)\), dok je \(a(t)\) rezervisano za kosmološki faktor skale.

Za objekat koji akretuje definišemo ukupnu efikasnost \(\epsilon_{\rm acc}\) oslobađanja energije izvan horizonta. U minimalnom modelu ova energija se deli između vidljivog zračenja i tamnog sektora, bez dodatnih mehaničkih gubitaka ili izvlačenja energije rotacije:

\[L_{\rm available}=\epsilon_{\rm acc}\dot M_{\rm in}c^2,\qquad L_X=f_{\rm conv}L_{\rm available},\qquad L_{\rm vis}=(1-f_{\rm conv})L_{\rm available}\]
\[\dot M_{\rm BH}=(1-\epsilon_{\rm acc})\dot M_{\rm in},\qquad 0\le f_{\rm conv}\le1\]

Vidljiva i tamna luminoznost dele isti energetski budžet. Nezavisan dodatni odliv u tamni sektor, mlaz ili izvlačenje energije rotacije zahteva poseban član bilansa. Energija mirovanja \(\rho_{\rm BH}c^2\) određuje skalu, ali nije automatski raspoloživ rezervoar. Efikasnosti na kraju moraju proisteći iz fizičkog mehanizma.

5. Tri energetske frakcije

Da bismo izbegli najopasniju konceptualnu dvosmislenost, uvodimo tri različita koeficijenta.

5.1. Efikasnost konverzije

\[f_{\rm conv}=\frac{E_{\rm converted}}{E_{\rm available}}\]

Ovo je efikasnost generisanja energije tamnog sektora.

5.2. Vezana frakcija

Ne mora sva proizvedena energija postati deo galaktičkog haloa.

Definišimo

\[f_{\rm bound}(t)=N_{X,\rm bound}(t)/N_{X,\rm surviving}(t)\]

Za relativističku produkciju:

\[f_{\rm bound}\ll1\]

može biti prirodno.

Za dovoljno hladnu komponentu:

\[f_{\rm bound}\rightarrow1\]

može biti moguće.

Prema tome, generisanje energije i formiranje haloa predstavljaju različite probleme.

U navedenom odnosu brojilac i imenilac broje vezane i preživele čestice iste grupe stvaranja u istoj epohi. Napuštanje haloa nije uništenje čestice.

5.3. Frakcija preživljavanja

Ako je \(X\) nestabilan,

\[X\rightarrow Y+\cdots\]

tada se njegov životni vek mora uzeti u obzir:

\[\tau_X\]

Uvodimo

\[f_{\rm surv}(t',t)\]

Tada je doprinos izvora:

\[d\rho_X(t;t')=Q_X(t')dt' \left(\frac{a(t')}{a(t)}\right)^3 f_{\rm surv}(t',t)\]

Za stabilnu česticu

\[f_{\rm surv}=1\]

6. Glavna jednačina izvornog člana

Za hladnu komponentu tamnog sektora:

\[\dot\rho_X+3H\rho_X=Q_X\]

sa

\[Q_X(z)= \int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}(M,\chi,z) \Gamma_{\rm BH}(M,\chi,z)\,Y_X(M,\chi,z) M c^2\]

gde:

- \(M\) predstavlja masu crne rupe;

- \(\chi\equiv cJ/(GM^2)\) - bezdimenzioni spin;

- \(n_{\rm BH}\) - funkcija raspodele crnih rupa po masi i spinu;

- \(\Gamma_{\rm BH}\) - frakciona stopa izvora;

- \(Y_X\) - energetski prinos tamnog sektora.

Poslednja dva parametra mogu se kombinovati:

\[\eta_X(M,\chi,z)=\Gamma_{\rm BH}Y_X\]

Tada

\[Q_X= c^2\int dM\,d\chi\,n_{\rm BH} M\eta_X\]

Ovde je \(n_{\rm BH}=dN/(dV_{\rm phys}\,dM\,d\chi)\); \(\Gamma_{\rm BH}\) i \(\eta_X=\Gamma_X=\Gamma_{\rm BH}Y_X\) imaju jedinice inverznog vremena. \(Y_X\) je bezdimenziono. Stope mogu uključiti udeo aktivnog vremena. Opažene komovne brojne gustine treba pomnožiti sa \(a^{-3}\) pre unošenja u fizički \(Q_X\).

7. Populaciono-integrisani protok

Za stabilnu, hladnu komponentu koja u početku nije prisutna, homogeno rešenje glasi:

\[\rho_X(t)=\mathcal T_X(t)=a^{-3}(t)\int_{t_i}^{t}a^3(t')Q_X(t')\,dt'.\]

Početna zastupljenost dodaje član \(\rho_X(t_i)[a(t_i)/a(t)]^3\). Za nerelativističke čestice sa stalnim vremenom života u sistemu mirovanja integrand se množi sa \(\exp[-(t-t')/\tau_X]\). Relativističko stvaranje zahteva evoluciju raspodele impulsa; proizvoljan faktor preživljavanja je ne može zameniti.

Udeo vezan za halo ne množi srednju kosmičku gustinu. Čestice koje napuste galaksiju ostaju u Univerzumu. Njihova prostorna raspodela i doprinos halou zasebni su problemi transporta. Današnja gustina zavisi od istorije izvora i zato ne mora pratiti trenutnu aktivnost BH. Ovaj integral je standardno rešenje jednačine kontinuiteta sa izvorom, a ne novi zakon održanja.

8. Istorijsko pamćenje

Ista BH može proći kroz nastanak početnog objekta, akreciju i spajanja, pa to nisu odvojene populacije koje se mogu jednostavno sabrati. Umesto toga razdvajaju se fizički kanali izvora, bez dvostrukog brojanja iste oslobođene energije:

Tada:

\[Q_X= Q_{\rm seed} + Q_{\rm acc} + Q_{\rm merger}\]

Za SMBH, akrecioni član je posebno prirodan:

\[Q_{\rm acc}=c^2\int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}\dot M_{\rm in}\epsilon_{\rm acc}f_{\rm conv}\]

Doprinos povezan sa spajanjima je takođe moguć:

\[Q_{\rm merger} \propto \int dM_1\,dM_2\, R_{\rm merge} E_{\rm available} f_{\rm conv}\]

Međutim, kanal spajanja nije primarni u ovom radu.

Glavni reper je:

\[Q_X\propto \int n_{\rm BH}\dot M_{\rm acc}\,dM\,d\chi\]

9. Minimalni reperni model

Da bismo dobili testirajuće relacije skaliranja, uvodimo:

\[\Gamma_{\rm BH}=\Gamma_0 \left(\frac{M}{M_0}\right)^\alpha g(\chi) h(z)\]

i

\[Y_X=Y_0 \left(\frac{M}{M_0}\right)^\beta s(\chi) r(z)\]

Tada:

\[Q_X=\Gamma_0Y_0c^2\int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}M \left(\frac{M}{M_0}\right)^{\alpha+\beta} g(\chi)s(\chi)h(z)r(z)\]

Ako je

\[\alpha+\beta=0\]

onda izvor približno prati gustinu mase crnih rupa:

\[Q_X\propto\rho_{\rm BH}\]

Ako je

\[\alpha+\beta>0\]

težina se pomera ka većim masama pri fiksnoj populaciji i težinama po spinu. Stvarna dominacija zavisi i od funkcije masa, njenih granica i raspodele aktivnosti.

Ako je

\[\alpha+\beta<0\]

onda se doprinos pomera ka manjim crnim rupama.

Ovo pretvara model u problem populacione sinteze.

Ova težina izvora određuje samo zbir \(\alpha+\beta\), osim ako nezavisni podaci razdvajaju stopu i prinos. Faktori spina i crvenog pomeranja moraju se dosledno usrednjiti; uslov \(\alpha+\beta=0\) sam ne uklanja te zavisnosti.

10. Funkcija mase crnih rupa

Označimo:

\[\Phi(M,z)=\frac{dN}{dV_{\rm phys}\,d\ln M}=M\int d\chi\,n_{\rm BH}(M,\chi,z)\]

Tada:

\[\rho_{\rm BH}(z)=\int d\ln M\,M\Phi(M,z)\]

Izvor:

\[Q_X(z)=c^2\int d\ln M\,M\Phi(M,z)\Gamma_X(M,z)\]

Ovo je pogodniji oblik za numeričku analizu.

Funkcija mase SMBH predstavlja jedno od glavnih empirijskih sredstava za rekonstrukciju istorije rasta crnih rupa.

11. Povratna sprega

Tamni kanal mora crpeti energiju iz određenog izvora. Za pojedinačan objekat, dodatna tamna luminoznost pri nepromenjenom dotoku i ostalim gubicima daje:

\[\dot M_{\rm BH}=\dot M_{\rm standard}-L_{X,\rm extra}/c^2.\]

Ako tamno zračenje zamenjuje deo postojećeg zračenja, koristi se podela iz odeljka 4; ponovno oduzimanje bi dvaput uračunalo isti gubitak. Spajanja i izvlačenje energije rotacije zahtevaju odgovarajuće bilanse mase i ugaonog momenta.

Za populaciju, \(Q_X\) ima jedinice energije po zapremini i vremenu i ne može se direktno dodati brzini promene mase jednog objekta. Na homogenom nivou komponente koje predaju energiju imaju kompenzujuće gubitke:

\[\dot\rho_i+3H(\rho_i+P_i)=Q_i,\qquad \sum_iQ_i=0.\]

Sve \(\rho_i\) u ovoj jednačini jesu gustine energije. Za malu perturbaciju tamna snaga mora biti mala u odnosu na odgovarajuću snagu dotoka ili izvlačenja energije, a ne u odnosu na neto brzinu rasta BH, koja može biti nula.

12. Glavni bezdimenzioni odnos

Najinformativniji parametar je:

\[\epsilon_X(z)=\frac{Q_X(z)}{\dot\rho_{\rm BH,feed}(z)c^2}\]

Ako je

\[\epsilon_X\ll1\]

to označava mali deo dovedene energije mirovanja. Mala promena budžeta zračenja dodatno zahteva \(\epsilon_X/\epsilon_{\rm acc}=f_{\rm conv}\ll1\) u modelu podele energije; mali udeo mora se proveriti u odnosu na odgovarajući rezervoar. To ne sledi samo iz prve nejednakosti.

Istovremeno, integrisani doprinos može biti različit od nule:

\[\frac{\rho_X}{\rho_{\rm DM}}=\frac{\int dt\,Q_Xa^3}{\rho_{\rm DM,0}a_0^3}\]

To omogućava režim:

\[\epsilon_X\ll1, \qquad \Omega_X/\Omega_{\rm DM}\neq0\]

13. Zašto je subdominantna komponenta najprirodniji scenario

Objašnjavanje celokupne tamne materije kroz kanal izvora povezan sa astrofizičkim crnim rupama znatno je teže.

Za punu komponentu potrebno je:

\[\Omega_X=\Omega_{\rm DM}\]

Efikasnost izvora tada mora biti dovoljno visoka, a da se istovremeno ne naruše:

- funkcije luminoziteta AGN;

- kosmičke pozadine;

- CMB injekcija energije;

- dinamika haloa;

- formiranje struktura;

- funkcije mase crnih rupa;

- ograničenja indirektne detekcije.

Za subdominantnu komponentu zahtevi su slabiji:

\[\Omega_X=\xi\Omega_{\rm DM}, \qquad 0<\xi<1\]

Istraživački interval koji se razmatra radi poređenja jeste:

\[10^{-6} \lesssim\xi\lesssim10^{-1}\]

Ovaj interval nije izvedena niti povlašćena oblast. SMBH model slabog pretvaranja iz odeljka 28 daje manje vrednosti. Sama subdominantnost ne garantuje dovoljan budžet, hladnu kinematiku ili merljive efekte.

14. Zašto se PBH moraju razmatrati odvojeno

PBH imaju potpuno drugačiji vremenski kernel.

Za nerotirajuću, nenaelektrisanu Švarcšildovu crnu rupu Hokingova temperatura je:

\[T_H= \frac{\hbar c^3} {8\pi G M k_B}\]

odnosno,

\[T_H\propto M^{-1}\]

Prema tome, male PBH mogu efikasno proizvoditi teške čestice ako je

\[k_BT_H\gtrsim m_Xc^2\]

Isparavanje PBH se već koristi kao mehanizam za proizvodnju tamne materije i drugih stanja izvan Standardnog modela.

Ali za obične zvezdane i supermasivne crne rupe:

\[k_BT_H\ll 1\,{\rm eV}\]

a Hawkingovo zračenje praktično nije efikasan mehanizam za proizvodnju masivne tamne materije.

Prema tome, hipoteza o astrofizičkim crnim rupama mora koristiti drugi izvor:

Akrecija, rotacija ili spoljašnja okolina → X.

umesto standardnog Hawkingovog isparavanja.

15. Mogući mikroskopski kanali

Fenomenološki model ne određuje mikrofiziku, ali dopušta nekoliko klasa mehanizama.

15.1. Emisija u skriveni sektor

Akreciona plazma → X i drugi proizvodi,

ako postoji slaba sprega.

15.2. Gravitaciona proizvodnja

Vremenski promenljivo gravitaciono polje u načelu može stvarati čestice u konkretnoj kvantnoj teoriji polja; sam šematski tenzor energije i impulsa ne daje stopu ni spektar stvaranja.

15.3. Kanal povezan sa horizontom

Proces se može fenomenološki parametrizovati kao:

Pretpostavljeni proces povezan sa horizontom → X.

Takav mehanizam zahteva potpunu kvantno-gravitacionu ili semiklasičnu derivaciju i stoga se u ovom radu ne tretira kao potvrđen.

Slaba elektromagnetna sprega ne dozvoljava česticama da pređu klasični horizont događaja ka spolja. Kanal spoljašnje plazme, superradijacija i pretpostavljeni kvantni proces pri horizontu različiti su mehanizmi; ne sme im se pripisati zajednička efikasnost izlaska bez izvođenja.

15.4. Superradijansa skrivenog sektora / ekstrakcija rotacije

Ako tamni sektor sadrži odgovarajuća polja, rotaciona energija crnih rupa može biti povezana sa superradijantnim procesima.

Tada izvor može zavisiti od spina:

\[Q_X\propto g(\chi)\]

Time raspodela po spinu postaje merljivi deo modela.

16. Prostorni izvorni član

Kosmološki \(Q_X(z)\) nije dovoljan za testiranje hipoteze na galaktičkom nivou.

Potrebno je uvesti:

\[Q_X(\mathbf x,t)=\int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}(M,\chi,\mathbf x,t)\Gamma_XMc^2\]

Tada:

\[\dot\rho_X+3H\rho_X+\frac{1}{a}\nabla\cdot(\rho_X\mathbf v_X)=Q_X\]

Ova jednačina omogućava proučavanje prostorne korelacije između:

- gustine crnih rupa;

- zvezdane mase;

- aktivnosti AGN;

- morfologije galaksija;

- haloa tamne materije.

17. Ključna razlika između izvora i tragača

Važno je da:

\[\rho_X\not\propto n_{\rm BH}\]

u opštem slučaju.

Razlog je transport.

Ako čestice napuste halo domaćina, a ne samo neposrednu okolinu BH,

\[f_{\rm bound}\ll1\]

onda lokalni izvor ne mora formirati lokalni halo.

Zbog toga je potreban kernel:

\[K(\mathbf x,t|\mathbf x',t')\]

Tada:

\[\rho_X(\mathbf x,t)=\int_{t_i}^{t}dt'\,d^3x'\,K(\mathbf x,t|\mathbf x',t')Q_X(\mathbf x',t')\]

Time se hipoteza pretvara u problem transporta + populacione sinteze.

Koriste se komovne koordinate \(\mathbf x\). Jezgro uključuje širenje, zapreminski jakobijan i preživljavanje. Za stabilan hladan homogeni izvor zadovoljava \(\int d^3x'K=[a(t')/a(t)]^3\), čime se dobija odeljak 7. Jezgro pojedinačnog haloa može uključiti hvatanje ili izlazak, ali njegov integral nije ukupan kosmički sadržaj.

18. Perturbacije

Neka \(\Delta Q_X\) označava perturbaciju fizičkog energetskog izvora u zadatoj kalibraciji. Za fiksni interval mase i spina definišemo relativne perturbacije brojnosti, stope pretvaranja i prinosa. U prvom redu:

\[\Delta Q_X=c^2\int dM\,d\chi\,\bar n_{\rm BH}M\bar\Gamma_{\rm BH}\bar Y_X(\delta_n+\delta_\Gamma+\delta_Y).\]

Ukupan efektivni kontrast zahteva usrednjavanje intervala težinama izvora. Evolucija kontrasta gustine zavisi i od perturbacija metrike, pritiska, impulsa ubrizganih čestica i kompenzujućih perturbacija sektora koji predaje energiju. Odziv pomoću Grinove funkcije mora se izvesti iz tog zatvorenog sistema. Kasni izvor može promeniti transfer funkciju, ali ovde nisu izračunati ni ta funkcija ni opservaciono ograničenje.

Samo u ovoj formuli za perturbacije crta iznad \(n,\Gamma,Y\) označava homogenu pozadinsku vrednost, a ne prelazak na komovnu zapreminu.

19. Efektivni bias

Definišimo kontrast izvora \(\delta_q=\Delta Q_X/Q_X\) u odnosu na homogeni nenulti izvor. Na velikim skalama može se pretpostaviti:

\[\delta_q\simeq b_Q(k,z)\delta_m.\]

Faktor pristrasnosti tamne komponente ne mora biti jednak jedinici i može zavisiti od skale i vremena. Za nerelativističku materiju njen doprinos ukupnom kontrastu mora koristiti udeo u svoj materiji:

\[\delta_m=(1-F_X)\delta_{\rm rest}+F_X\delta_X,\qquad F_X=\rho_X/\rho_m.\]

Ovde \(\delta_{\rm rest}\) uključuje barione i preostalu tamnu materiju. Odnos \(\xi=\rho_X/\rho_{\rm DM}\) nije težina u ovoj jednačini ukupne materije. Promena spektra snage zahteva rešavanje spregnutih jednačina perturbacija; sam faktor pristrasnosti nije predviđanje.

20. Ograničenje ranog Univerzuma

Obične BH nastale kao ostaci zvezda formiraju se posle zvezda i ne stvaraju komponentu tokom BBN ili rekombinacije. Raniji izvor zahteva poseban scenario nastanka i provere širenja, smanjenja donorskog sektora i perturbacija tokom BBN, jednakosti materije i zračenja i rekombinacije.

\[\rho_X(t_*)=a_*^{-3}\int_{t_i}^{t_*}a^3(t)Q_X(t)\,dt.\]

Ovo je gustina pri rekombinaciji za stabilnu hladnu komponentu koja u početku nije prisutna. Ona i promena donorskog sektora moraju se uporediti sa podacima. Integral bez razređenja ili poređenje samo sa zračenjem nisu dovoljni. Kasno stvaranje i dalje podleže ograničenjima CMB sočiva i strukture.

21. Kasni izvor

Ako je

\[Q_X(z)\]

maksimalan pri

\[z\lesssim 10\]

onda je proizvedena komponenta intrinzično kasno generisana.

To razlikuje model od standardnog termičkog ostatka.

Međutim, kasnu proizvodnju ne treba automatski tumačiti kao prednost.

Neophodno je testirati:

\[\Delta N_{\rm eff}\]

CMB sočivanje,

spektrum materije,

formiranje haloa,

rotacione krive galaksija,

obilje satelita.

22. Temperatura tamnog sektora

Ako se \(X\) proizvodi relativistički, njegova početna raspodela impulsa ima oblik:

\[\mathcal F_X(p,t_{\rm prod})\]

Nakon crvenog pomaka:

\[p(t)=p_{\rm prod} \frac{a(t_{\rm prod})}{a(t)}\]

Dužina slobodnog strujanja:

\[\lambda_{\rm FS}=\int_{t_{\rm prod}}^{t_0} \frac{v(t)}{a(t)}dt\]

Topla ili vrela komponenta može potisnuti strukturu na malim skalama; veličina efekta zavisi i od njene zastupljenosti i od raspodele impulsa.

Dijagnostičku veličinu

\[\lambda_{\rm FS}\]

zato treba ispitivati zajedno sa udelom komponente. Velika dužina slobodnog kretanja sama po sebi ne isključuje proizvoljno malu potkomponentu.

23. Režim hladne proizvodnje

Da bi se dobilo ponašanje slično tamnoj materiji, poželjno je imati:

\[\frac{p_{\rm prod}}{m_Xc} \ll1\]

ili dovoljno crveno pomeranje između stvaranja i epohe koja se ispituje. Komponenta nastala posle prvih zvezda ne može postati hladna pre jednakosti materije i zračenja, koja je nastupila ranije.

Ako se čestice proizvode sa

\[p_{\rm prod}\gg m_Xc\]

one su u početku slične zračenju:

\[w_X\simeq\frac13\]

Tada je jednačina:

\[\dot\rho_X+4H\rho_X=Q_X\]

Nakon prelaska u nerelativistički režim:

\[\dot\rho_X+3H\rho_X=Q_X\]

Zbog toga se mora koristiti dvorežimska Bolcmanova evolucija.

24. Minimalna evolucija dve komponente

Jedinstvena raspodela u faznom prostoru neprekidno opisuje prelaz iz relativističkog u nerelativistički režim. Neka je \(\mathcal F_X(p,t)\) homogeni izotropni okupacioni broj sa fizičkim impulsom \(p\):

\[(\partial_t-Hp\partial_p)\mathcal F_X=\mathcal C_{\rm prod}-\mathcal C_{\rm loss}.\]
\[E=\sqrt{m_X^2c^4+p^2c^2},\qquad \rho_X=\int d\Pi\,E\mathcal F_X,\qquad P_X=\int d\Pi\,\frac{p^2c^2}{3E}\mathcal F_X.\]

Mera je \(d\Pi=g_Xd^3p/(2\pi\hbar)^3\), gde \(g_X\) broji unutrašnja stanja. Energetski momenti daju:

\[\dot\rho_X+3H(\rho_X+P_X)=Q_X-D_X,\quad Q_X=\int d\Pi\,E\mathcal C_{\rm prod},\quad D_X=\int d\Pi\,E\mathcal C_{\rm loss}.\]

Za stabilne čestice bez anihilacije, apsorpcije i drugih procesa uklanjanja član gubitka je nula. Pritisak teži \(\rho_X/3\) u relativističkoj granici i nuli u hladnoj. Podela raspodele na dva intervala moguća je samo uz članove prenosa koji čuvaju broj čestica i energiju; promena oznake izvora ne prenosi već postojeće čestice. Numerička evolucija fazne raspodele ovde nije sprovedena.

Ovde „stabilna komponenta bez gubitaka” isključuje anihilaciju, apsorpciju i druge procese uklanjanja, kao i raspad. Sama stabilnost prema raspadu ne poništava član sudarnih gubitaka.

25. Populaciona sinteza

Praktični proračun treba konstruisati kao:

\[\Phi(M,\chi,z) \rightarrow \dot M(M,\chi,z) \rightarrow Q_X(M,\chi,z) \rightarrow \rho_X(z) \rightarrow P(k,z),C_\ell,\rho_X(r)\]

Odnosno, potrebno je redom modelovati:

1. funkciju mase crnih rupa;

2. raspodelu po spinu;

3. istoriju akrecije;

4. istoriju spajanja;

5. efikasnost izvora;

6. spektar tamnog sektora;

7. transport;

8. kosmološku evoluciju.

26. Reperni populacioni model

Može se početi sa separabilnom aproksimacijom:

\[\Phi(M,\chi,z)=\Phi_M(M,z)P(\chi|M,z)\]

Tada:

\[Q_X(z)=c^2\int d\ln M\,M\Phi_M(M,z)\Gamma_X(M,z)\]

Za

\[\Gamma_X=\Gamma_0\left(\frac{M}{10^8M_\odot}\right)^\alpha(1+z)^\gamma\]

dobijamo:

\[Q_X(z)=\Gamma_0c^2(1+z)^\gamma\int d\ln M\, M\Phi_M \left(\frac{M}{10^8M_\odot}\right)^\alpha\]

Ovo je već potpuno numerički implementabilan model.

U ovim jednačinama \(\Gamma_X\) je efektivna stopa koja uključuje prinos i uslovni prosek po spinu. Ne sme se drugi put množiti prinosom. Pretpostavka i dalje zahteva normalizovanu raspodelu spinova, funkciju masa, konačne granice masa i budžet izvora.

27. Reper povezan sa akrecijom

Fizički transparentnija opcija je:

\[Q_X=f_{\rm conv}\epsilon_{\rm acc}\dot\rho_{\rm acc}c^2\]

Ovde je:

\[\dot\rho_{\rm acc}=\int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}\dot M_{\rm acc}\]

Tada:

\[Q_X=f_{\rm conv}\epsilon_{\rm acc}\dot\rho_{\rm acc}c^2\]

Ovo je posebno pogodno jer je \(\dot\rho_{\rm acc}\) povezan sa gustinom luminoziteta AGN kroz Soltanov argument.

Ovde je \(\dot M_{\rm acc}=\dot M_{\rm in}\) stopa dotoka mase mirovanja, a ne neto rasta BH; \(\dot\rho_{\rm acc}\) je ta stopa po fizičkoj zapremini, a ne ukupan vremenski izvod fizičke gustine BH. Efikasnost se odnosi na ukupnu oslobođenu snagu definisanu u odeljku 4.

28. Energetski uslov reda veličine

Za stabilnu komponentu nastalu hladnom, današnja gustina energije pri stalnom udelu pretvaranja jeste \(\rho_{X,0}=f_{\rm conv}\bar U_{\rm available}\), gde je \(\bar U_{\rm available}=\int a^3\dot u_{\rm available}\,dt\). Faktor \(a^3\) pretvara fizičku gustinu snage u snagu po komovnoj zapremini. Zato:

\[\xi_0=\frac{\rho_{X,0}}{\rho_{{\rm DM},0}},\qquad f_{\rm conv,req}=\frac{\xi_0\rho_{{\rm DM},0}}{\bar U_{\rm available}}.\]

Ako potreban udeo premašuje jedinicu, izabrani izvor energije ne može obezbediti ciljnu zastupljenost. Vrednost ispod jedinice prolazi samo energetsku proveru.

Za ilustrativnu procenu samo SMBH kanala pretpostavimo rast pretežno akrecijom, zanemarljive početne mase i gubitke pri spajanjima, stalnu ukupnu efikasnost oslobađanja energije \(\epsilon_{\rm acc}=0.1\) i stabilne čestice nastale hladne. Koristimo klasičnu procenu lokalne gustine mase Marconi et al. [8], preračunatu na \(h=0.674\), i Planck vrednost za osnovni ΛCDM model \(\Omega_ch^2=0.120\) [1]:

\[\rho_{{\rm BH},0}\simeq4.26\times10^5\,M_\odot\,{\rm Mpc}^{-3},\qquad \rho_{{\rm DM},0}/c^2\simeq3.33\times10^{10}\,M_\odot\,{\rm Mpc}^{-3}.\]
\[\bar U_{\rm available}/c^2\simeq\frac{\epsilon_{\rm acc}}{1-\epsilon_{\rm acc}}\rho_{{\rm BH},0}\simeq4.74\times10^4\,M_\odot\,{\rm Mpc}^{-3}.\]
\[\xi_0\simeq1.42\times10^{-6}f_{\rm conv}.\]

Udeo pretvaranja 0,01 daje \(\xi_0\simeq1.4\times10^{-8}\). Algebrajski, za \(\xi_0=10^{-6}\) potreban je udeo oko 0,70, izvan režima slabog pretvaranja; tada bi trebalo ponovo uskladiti vidljive AGN luminoznosti i rast BH. To nije ustanovljeno dozvoljeno rešenje sa visokom efikasnošću.

Sama asimetrična greška navedena u [8] daje približno \((1.0-2.0)\times10^{-6}\) za koeficijent uz udeo pretvaranja. Ona ne uključuje neizvesnosti efikasnosti, početnih objekata, skrivenog rasta ili lokalnih relacija skaliranja. Alternativne procene gustine mase mogu se znatno razlikovati [5]. Pri relativističkom stvaranju dodatna energija se gubi crvenim pomeranjem. Ostale BH populacije, rotacioni kanali i spajanja zahtevaju zasebne budžete. Ova procena zato ograničava izabrani model, ali nije univerzalna gornja granica niti detekcija.

29. Šta znači malo \(f_{\rm conv}\)

Ako proračun daje, na primer,

\[f_{\rm conv}\sim10^{-6}\]

to samo znači da dobijanje odgovarajuće subkomponente zahteva pretvaranje jednog milionitog dela dostupnog energetskog protoka.

Takav rezultat:

\[f_{\rm conv}\ll1\]

nije automatski dokaz fizičke ostvarivosti.

Mora se pokazati da konkretna mikrofizika zaista dopušta takvu vrednost.

30. Nulti modeli

Slučaj bez izvora je nulti model. Ostali slučajevi su konkurentski modeli izvora, a ne nezavisne nulte hipoteze. Pre poređenja treba zadati njihove amplitude, početne uslove i apriorne raspodele.

Model 1

\[Q_X=0\]

Standardna \(\Lambda\)CDM.

Model 2

\[Q_X\propto\rho_{\rm BH}(z)\]

Model 3

\[Q_X\propto\dot\rho_{\rm acc}(z)\]

Model 4

\[Q_X(t)=\mathcal E_*\delta(t-t_*)\]

Amplituda \(\mathcal E_*\) je energija po fizičkoj zapremini u trenutku ubrizgavanja. Dirakova delta ima dimenziju inverznog vremena, pa \(Q_X\) ima potrebnu dimenziju gustine snage.

Model 5

Model Hawkingove proizvodnje iz PBH.

Ovo će pokazati da li podaci zaista favorizuju izvor zavisan od istorije crnih rupa.

31. Glavno predviđanje modela

Ako je izvor povezan sa istorijom akrecije:

\[Q_X(z)\propto\dot\rho_{\rm acc}(z)\]

onda:

\[\rho_X(z)=\int^t dt'\,\dot\rho_{\rm acc}(t')c^2\epsilon_{\rm acc}f_{\rm conv} \left(\frac{a'}a\right)^3\]

Prema tome, tamna komponenta treba da ima kernel pamćenja, povezan sa istorijom rasta AGN/crnih rupa.

Ovo je glavna razlikovna karakteristika modela.

32. Predviđanje prostorne korelacije

Ako je izvor povezan sa crnim rupama:

\[Q_X(\mathbf x) \propto n_{\rm BH}(\mathbf x)\]

ili

\[Q_X(\mathbf x) \propto \dot\rho_{\rm acc}(\mathbf x)\]

onda nastaje korelacija između \(X\) i populacije galaksija/AGN.

Može se proučavati unakrsni spektar:

\[P_{X,g}(k,z)\]

Ako je \(\xi\) dovoljno velika:

\[P_{X,g}\neq0\]

može postati merljiv.

Nenulta korelacija sa galaksijama nije jedinstvena za ovaj mehanizam: obična hladna tamna materija takođe korelira sa galaksijama. Koristan test mora razlikovati predviđenu zavisnost od skale, crvenog pomeranja i amplitude od standardnog grupisanja i astrofizičkih selekcionih efekata.

33. Predviđanje profila haloa

Ako proizvedeni \(X\) ostaje gravitaciono vezan:

\[f_{\rm bound}\neq0\]

onda je izvor najjači u regionima visoke gustine crnih rupa.

Međutim, ovo automatski ne podrazumeva centralni vrh.

Transport može izravnati profil:

\[\rho_X(r,t)=\int_{t_i}^{t}dt'\int_0^\infty4\pi r'^2dr'\,K_r(r,t|r',t')Q_X(r',t')\]

Zbog toga centralno pojačanje mora biti izračunato, a ne pretpostavljeno.

U ovom lokalnom izrazu za halo, \(r\) i \(r'\) su fizički poluprečnici, a jezgro uključuje potrebne transformacije zapremine, transport i preživljavanje. To nije ista konvencija normalizacije kao za jezgro u komovnim koordinatama odeljka 17.

34. Moguća veza sa galaktičkom morfologijom

Ako je proizvodnja povezana sa aktivnošću AGN, onda:

\[Q_X \sim Q_X({\rm AGN})\]

Tada eliptične galaksije i masivna ispupčenja mogu imati pojačane istorije izvora.

Međutim, zavisnost od trenutne morfologije previše je složena da bi se pretvorila u specifično predviđanje bez populacione sinteze.

Zbog toga ovo u ovom radu ostaje sekundarni opservabilni efekat.

35. Kanal gravitacionih talasa

Spajanja crnih rupa proizvode:

\[E_{\rm GW} \sim \eta_{\rm GW}Mc^2\]

Ako je konverzija u tamni sektor povezana sa dinamikom spajanja:

\[E_X=f_{\rm merger}E_{\rm available}\]

onda:

\[Q_X^{\rm merger}=\int dM_1\,dM_2\,R_{\rm merge}f_{\rm merger}E_{\rm available}\]

Međutim, trenutna populacija gravitacionih talasa ne zahteva postojanje takvog dodatnog kanala.

Zbog toga kanal spajanja treba tretirati kao zasebno testirajuće proširenje.

Analize podataka LVK takođe snažno ograničavaju mogućnost da posmatrana populacija crnih rupa zvezdanih masa u značajnoj meri predstavlja PBH; na primer, jedna O3 analiza dobija \(f_{\rm PBH}\lesssim10^{-3}\) u opsegu \(1-200M_\odot\) za razmatrane scenarije.

Stopa spajanja u integralu izvora zadaje se po fizičkoj zapremini, sopstvenom vremenu izvora i intervalima masa komponenti pri fiksnom crvenom pomeranju. Prelazak sa opažene raspodele događaja zahteva faktore zapremine i dilatacije vremena; integracija po crvenom pomeranju pripada kasnijem proračunu kosmičke istorije. Granice zastupljenosti PBH zavise od usvojene funkcije masa, nastanka binarnih sistema i grupisanja i nisu direktna granica ove efikasnosti tamnog zračenja.

36. Elektromagnetna ograničenja

Ako je proizvodnja tamnog sektora praćena emisijom u vidljivom sektoru:

\[X\rightarrow\gamma+\cdots\]

onda se moraju uzeti u obzir:

\[\Delta I_\gamma(E)\]

kosmička rendgenska pozadina,

gama-zračna pozadina,

radio-pozadine.

Zbog toga se

\[f_{\rm conv}\]

ne može razmatrati nezavisno od grananja raspada.

37. CMB ograničenja

Ubrizgavanje energije u vidljivi sektor može promeniti jonizaciju, temperaturu gasa i CMB anizotropije. Trenutno zračenje pri stvaranju i kasniji raspad čestica predstavljaju različite izvore. Za nerelativističke čestice sa vremenom života u sistemu mirovanja \(\tau_X\), vidljivi kanal raspada daje:

\[Q_{\rm vis,dec}=f_{\rm vis}\rho_X/\tau_X.\]

Predaja energije gasu u opštem slučaju nije trenutna niti potpuna. Potreban je proračun transporta zavisan od energije i crvenog pomeranja. Ograničenja moraju slediti iz dobijene istorije jonizacije i CMB, a ne iz univerzalne granice za \(Q_X(z)\) u svakoj tački. Čak i potpuno nevidljiva komponenta utiče na širenje i gravitacione perturbacije.

38. Struktura velikih razmera

Za hladnu subkomponentu:

\[\delta_X\]

može biti bliska standardnoj CDM perturbaciji.

Za toplu komponentu:

\[\lambda_{\rm FS}\]

može potisnuti snagu na malim skalama.

Zbog toga model mora zadovoljiti:

\[\left| \frac{\Delta P(k)} {P_{\Lambda{\rm CDM}}(k)} \right| < \varepsilon_P(k,z)\]

39. Obilje haloa

Ako se \(X\) pojavljuje kasno, možda nema dovoljno vremena da učestvuje u ranom formiranju haloa.

Za stabilnu hladnu komponentu sa nenegativnim izvorom i očuvanom hladnom referentnom komponentom, udeo raste prema sadašnjosti:

\[\xi(z_{\rm form})\le\xi(z_0)\]

To dovodi do potencijalne razlike između:

- ukupne materije danas;

- materije dostupne tokom ranog formiranja struktura.

Ovaj efekat predstavlja jedan od najjačih načina za testiranje scenarija kasnog izvora.

40. Lokalno ograničenje Mlečnog puta

Za našu Galaksiju:

\[Q_X(\mathbf r)=\sum_iL_{X,i}\delta^3(\mathbf r-\mathbf r_i)\]

Glavni doprinos može dolaziti od centralne SMBH ili od čitave populacije crnih rupa zvezdanih masa.

Ali ne treba pretpostavljati:

\[Q_X\sim Q_{\rm SMBH}\]

bez populacionog proračuna.

Ako su zvezdane crne rupe brojne, njihov integrisani doprinos može konkurisati doprinosu SMBH.

41. Zvezdane naspram supermasivnih crnih rupa

Model mora razlikovati:

\[Q_X=Q_X^{\rm stellar}+Q_X^{\rm intermediate}+Q_X^{\rm SMBH}\]

Ako je:

\[\Gamma_X\propto M^\alpha\]

onda relativni doprinos nije određen samo brojem objekata već i težinskim faktorom mase:

\[Q_i\propto\int d\ln M\,M^{1+\alpha}\Phi_i(M)\]

Ovo čini eksponent \(\alpha\) kritičnim.

42. Zavisnost od spina

Ako je:

\[\Gamma_X=\Gamma_0g(\chi)\]

onda:

\[Q_X \propto \langle g(\chi)\rangle\]

Za superradijantni mehanizam:

\[g(\chi)\]

može naglo rasti sa spinom.

Tada zastupljenost zavisi od istorije spinova kroz integral izvora. Njen parametar gustine definisan je kao:

\[\Omega_X(z)=\rho_X(z)/(\rho_{\rm crit}(z)c^2)\]

Ovde je \(\rho_{\rm crit}=3H^2/(8\pi G)\) kritična gustina mase; faktor \(c^2\) pretvara je u gustinu energije. Sama definicija nije posmatračko predviđanje.

43. Informacije sadržane u populaciji crnih rupa

Prema tome, populacija crnih rupa deluje kao neka vrsta kosmičkog integratora:

\[\{M,\chi,\dot M,z\} \rightarrow Q_X\]

Trenutni katalog crnih rupa sadrži nepotpune informacije o prošlosti.

Zbog toga je potrebna rekonstrukcija:

\[P(M,\chi,\dot M|z)\]

Ovo je istorijska populaciona sinteza.

44. Istorijski protok naspram trenutne aktivnosti

Razmotrimo dva scenarija.

Model A

\[Q_X(z)\propto\rho_{\rm BH}(z)\]

Model B

\[Q_X(z)\propto\dot\rho_{\rm acc}(z)\]

Oni mogu dati isti \(Q_X(z=0)\), ali potpuno različite:

\[\rho_X(z)\]

Zbog toga merenje samo današnje gustine crnih rupa nije dovoljno.

Neophodno je rekonstruisati:

\[Q_X(z)\]

kroz čitavu kosmičku istoriju.

45. Veza sa funkcijama luminoziteta AGN

Neka je \(\bar\Phi_L(L,z)=dN/(dV_{\rm com}\,d\ln L)\) bolometrijska funkcija luminoznosti vidljivih AGN, korigovana za selekciju i zaklanjanje. U modelu podele energije iz odeljka 4, za stalno \(0\le f_{\rm conv}<1\),

\[Q_X(z)=a^{-3}\frac{f_{\rm conv}}{1-f_{\rm conv}}\int d\ln L\,\bar\Phi_L(L,z)L.\]

Faktor \(a^{-3}\) pretvara komovnu gustinu luminoznosti u fizičku gustinu izvora. Pri slabom pretvaranju odnos je približno \(f_{\rm conv}\). Ako efikasnost zavisi od luminoznosti, ona pripada integrandu. Veliko pretvaranje ne može se izvesti uz istovremeno nepromenjenu vidljivu funkciju luminoznosti i standardnu kalibraciju rasta BH.

46. Soltanov test samodoslednosti

Pri stalnoj ukupnoj efikasnosti oslobađanja energije, akrecioni doprinos rastu komovne gustine mase BH zadovoljava:

\[\frac{d\bar\rho_{{\rm BH},\rm acc}}{dt}=(1-\epsilon_{\rm acc})\dot{\bar\rho}_{\rm in}.\]

Odgovarajući fizički izvor tamne komponente glasi:

\[Q_X=a^{-3}f_{\rm conv}\frac{\epsilon_{\rm acc}}{1-\epsilon_{\rm acc}}c^2\frac{d\bar\rho_{{\rm BH},\rm acc}}{dt}.\]

Izvod se ovde odnosi samo na masu prikupljenu akrecijom po komovnoj zapremini; nastanak početnih objekata, gubici pri spajanjima i izbačeni objekti zahtevaju zaseban obračun. Efikasnost vidljivog zračenja je \((1-f_{\rm conv})\epsilon_{\rm acc}\). Zato AGN luminoznosti i demografija BH zajedno ograničavaju podelu energije. Skriven ili radijativno neefikasan rast donosi sistematsku neizvesnost, a ne neograničen energetski rezervoar [5, 6, 7, 9].

47. Fundamentalno ograničenje

Čak i ako je:

\[f_{\rm conv}\ll1\]

energetski dovoljan, to i dalje ne dokazuje postojanje sprege tamnog sektora.

Prolazak energetske provere ne utvrđuje mikroskopski mehanizam stvaranja.

Ovo je fundamentalno ograničenje sadašnjeg okvira.

48. Kriterijumi falsifikacije

Hipotezu treba smatrati isključenom u datom regionu parametara ako je ispunjen barem jedan od sledećih uslova:

1. Energetska nemogućnost

\[f_{\rm conv}>1\]

2. Kršenje CMB ograničenja

Predviđena istorija jonizacije ili CMB koju zajednička analiza podataka isključuje.

3. Kršenje ograničenja strukture

\[\Delta P(k)\]

prelazi dozvoljeni opseg.

4. Kršenje ograničenja slobodnog strujanja

\[\lambda_{\rm FS}\]

je prevelika.

5. Kršenje demografije crnih rupa

Povratna sprega značajno menja posmatranu funkciju mase crnih rupa.

6. Kršenje ograničenja pozadina

Proizvedeni vidljivi sekundari prevazilaze kosmičke pozadine.

7. Populaciona nedoslednost

Ne postoji dozvoljena

\[\Phi(M,\chi,z)\]

koja daje zahtevani \(Q_X\).

Ovi kriterijumi isključuju konkretne parametre posle zajedničke analize podataka. Slobodna efikasnost koja teži nuli ne može se isključiti samo odsustvom signala. Granice slobodnog kretanja i vidljive energije zavise od zastupljenosti, spektara i predaje energije; nema univerzalnog praga nezavisnog od tih pretpostavki.

49. Pozitivan test

Pozitivan rezultat ne treba da izgleda ovako:

„pronašli smo tamnu materiju u crnim rupama.“

Umesto toga, treba ga formulisati mnogo strože:

\[D \Rightarrow Q_X(z) \neq0\]

i istovremeno:

\[Q_X(z)\]

mora biti statistički povezan sa

\[\Phi_{\rm BH}(M,\chi,z)\]

ili

\[\Phi_{\rm AGN}(L,z)\]

Odnosno, potrebno je detektovati tamnu komponentu zavisnu od istorije crnih rupa.

Takav dokaz zahtevao bi statistički povlašćen nenulti izvor u konkretnom modelu i odbacivanje razumnih alternativa, uključujući običnu pristrasnost galaksija. Sama korelacija ne utvrđuje mikroskopsko poreklo.

50. Statistički okvir

Parametri:

\[\theta= \{ f_{\rm conv},\alpha,\beta,\gamma, m_X,\tau_X, f_{\rm bound}, f_{\rm vis} \}\]

Verodostojnost:

\[\mathcal L(\theta)=\mathcal L_{\rm CMB}\mathcal L_{\rm LSS}\mathcal L_{\rm BH}\mathcal L_{\rm GW}\mathcal L_{\rm EM}\]

Posterior:

\[P(\theta|D) \propto \mathcal L(D|\theta) \pi(\theta)\]

Glavni parametar:

\[\xi= \frac{\Omega_X}{\Omega_{\rm DM}}\]

Proizvod funkcija verodostojnosti važi samo za uslovno nezavisne skupove podataka; uzorci koji se preklapaju i zajedničke sistematske greške zahtevaju zajedničku kovarijansu. \(\xi\) se izvodi iz normalizacije izvora i evolucije, a nije dodatna nezavisna zastupljenost za podešavanje. Degenerisani parametri stope i prinosa zahtevaju nezavisne podatke ili manji skup parametara.

51. Hijerarhijska populaciona inferencija

Umesto fiksne funkcije mase crnih rupa:

\[\Phi(M,z)\]

ona treba da se tretira kao latentni populacioni model:

\[\Phi(M,z|\psi)\]

gde \(\psi\) označava parametre evolucije populacije.

Tada:

\[P(\xi,\psi|D) \propto P(D|\xi,\psi) P(\xi)P(\psi)\]

Ovo omogućava uključivanje neizvesnosti u demografiju crnih rupa.

Proizvod prethodnih raspodela pretpostavlja njihovu nezavisnost. Ako se zastupljenost izvodi iz parametara izvora i populacije, treba koristiti njihovu zajedničku raspodelu i njome indukovanu raspodelu zastupljenosti, umesto da se istoj veličini dvaput dodeljuju nepovezane prethodne raspodele.

52. Minimalni numerički eksperiment

Minimalni numerički cevovod treba da obuhvati:

\[\Phi(M,z) \rightarrow \dot M(M,z) \rightarrow Q_X(z) \rightarrow \rho_X(z) \rightarrow \xi(z)\]

nakon čega sledi proračun:

\[P(k,z)\]
\[C_\ell^{TT,TE,EE,\phi\phi}\]

i opservabli haloa.

53. Skeniranje repernih parametara

Najmanje treba istražiti:

\[10^{-8} \le f_{\rm conv} \le 10^{-1}\]
\[-2\le\alpha\le2\]
\[-4\le\gamma\le4\]

a za česticu tamnog sektora:

\[10^{-6}\,{\rm eV} \le m_Xc^2 \le 10^6\,{\rm GeV}\]

Ovo nije tvrdnja da je čitav opseg dozvoljen; to je opseg za početno numeričko skeniranje.

Ovo su istraživačke koordinate, a ne dokazan dostupan raspon masa. Konkretan mehanizam stvaranja određuje pragove i spektar; plazma keV energije ne može termalno stvarati proizvoljno teške čestice. Treba uključiti slučaj bez izvora i po potrebi manje udele pretvaranja. Skeniranje parametara u ovom radu nije sprovedeno.

54. Glavni očekivani režimi

Režim I - zanemarljiv

\[\xi\ll10^{-6}\]

Kosmološki mala zastupljenost; mogućnost detekcije i dalje zavisi od interakcije i merljive veličine, a ne samo od ovog udela.

Režim II - slaba subkomponenta

\[10^{-6}\lesssim\xi\lesssim10^{-3}\]

Istraživački interval, a ne prirodna posledica slabe sprege. SMBH model slabog pretvaranja daje manje vrednosti.

Režim III - značajna subkomponenta

\[10^{-3}\lesssim\xi\lesssim10^{-1}\]

Zahteva zasebno opravdan izvor energije i strože opservacione provere. Budžet modela iz odeljka 28 ga ne podržava.

Režim IV - dominantna

\[\xi\sim1\]

Najstroži scenario i nije glavni cilj ovog rada.

55. Zašto \(\xi\sim1\) nije centralni cilj

Za dominantnu komponentu potrebno je istovremeno reprodukovati:

\[\Omega_{\rm DM}\]
\[P(k)\]
\[C_\ell\]

obilje haloa,

galaktičku dinamiku

istovremeno.

Vreme stvaranja komponente predstavlja zasebno ograničenje.

Ako se većina DM pojavljuje prekasno, ona ne učestvuje u ranom formiranju struktura.

Zbog toga je subdominantni scenario znatno konzervativnija hipoteza.

56. Poređenje sa tamnom materijom iz PBH

U prvom slučaju istoriju izvora određuje rana kosmologija.

U drugom:

\[Q_X(z)\]

prati istoriju formiranja zvezda, formiranja galaksija, aktivnosti AGN i rasta crnih rupa.

To su fundamentalno različiti opservacioni potpisi.

Primordijalno poreklo: rani Univerzum stvara PBH; preživele PBH mogu same činiti deo tamne materije, dok populacija koja isparava može proizvesti nove čestice. Astrofizičko poreklo: evolucija zvezda ili nastanak masivnih početnih objekata stvara BH čija okolina kasnije može biti izvor X.

57. Veza sa fizikom skrivenog sektora

Skrivena tamna materija već se proučava u teorijama u kojima tamne čestice slabo interaguju sa vidljivim sektorom ili prvenstveno gravitaciono.

Posebno interesantan scenario je onaj u kojem obični astrofizički objekti deluju kao posrednici između sektora.

U tom smislu, model izvora crnih rupa može se posmatrati kao oblik:

astrofizičku vezu između vidljivog i skrivenog sektora.

Ali specifični portal mora biti određen zasebnim modelom fizike čestica.

58. Odnos prema postojećim radovima i granice novine

Stvaranje tamnih čestica u blizini astrofizičkih BH koje akretuju već je proučavano, uključujući procese u termalnoj plazmi, ubrzavanje postojećih tamnih čestica i superradijaciju. Pored literature o PBH, neposredno je relevantan rad Cai et al. [14]. Ubrzavanje postojećih čestica ne stvara novi fond mase mirovanja.

Predložena šema objedinjuje istoriju populacije, pretvaranje, preživljavanje i transport radi doslednog obračuna. Vremenska integracija izvora je standardan postupak. Zapisivanje tog integrala ne opravdava tvrdnju o prvenstvu. Samostalan doprinos zahteva izračunat prinos populacije, novo ograničenje ili opservacioni potpis uz kvantitativno poređenje sa postojećim modelima.

59. Najjača verzija hipoteze

Najjača formulacija hipoteze je:

Uslovna hipoteza glasi da komponenta \(X\), ako nastaje određenim mehanizmom astrofizičkih BH, ima zastupljenost određenu istorijom izvora. Za stabilne hladne čestice koje u početku nisu prisutne važi donji oblik sa \(\mathcal S_X=1\). Konačan nerelativistički vek dodaje faktor preživljavanja iz odeljka 7.

Matematički:

\[\rho_X(t)=\int_{t_{\rm form}}^t dt'\int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}(M,\chi,t')\,\Gamma_{\rm BH}(M,\chi,t')\,Y_X(M,\chi,t')Mc^2\left[\frac{a(t')}{a(t)}\right]^3\mathcal S_X(t',t)\]

Ovo je centralna jednačina modela.

60. Optimistična energetska procena

Za minimalni model uzmimo:

\[Y_X=1\]
\[f_{\rm bound}=1\]
\[f_{\rm surv}=1\]

ali ih tumačimo kao optimističnu gornju granicu.

Tada:

\[Q_X^{\rm max}=f_{\rm conv}\dot u_{\rm available}\]

Ako čak ni ova gornja granica ne može proizvesti zahtevanu \(\xi\), model je isključen.

Ako može, počinje druga faza:

\[Y_X<1\]

transport,

slobodno strujanje,

raspad,

vidljivi kanal raspada.

61. Logika gornje granice

Prema tome, analiza treba da se odvija sledećim redosledom:

Energetski budžet → ograničenja populacije → kosmološka evolucija → transport; mikroskopski mehanizam je potreban da poveže ove korake.

Ovo sprečava preterano tumačenje rezultata.

62. Mogući ishod numeričke analize

Mogu se pojaviti tri situacije.

Slučaj A

\[f_{\rm conv}>1\]

Hipoteza je energetski nemoguća.

Slučaj B

\[10^{-10}<f_{\rm conv}<10^{-3}\]

Potreban udeo prolazi energetsku proveru za izabranu zastupljenost i rezervoar. Mikroskopski mehanizam, spektar i saglasnost sa opažanjima tek treba ustanoviti; univerzalna jačina sprege ne sledi iz tog broja.

Slučaj C

\[f_{\rm conv}\sim10^{-1}-1\]

Hipoteza postaje znatno više ograničena i zahteva veoma efikasnu spregu sa tamnim sektorom.

63. Potreban nastavak rada

Sledeća faza treba da bude računarska, a ne konceptualna.

Neophodno je izgraditi:

Faza 1

Empirijsku funkciju mase crnih rupa.

Faza 2

Raspodelu po spinu.

Faza 3

Funkciju luminoziteta AGN.

Faza 4

Istorijsku gustinu akrecije.

Faza 5

Populaciono-integrisani \(Q_X(z)\).

Faza 6

Bolcmanovu evoluciju.

Faza 7

Spektar snage materije.

Faza 8

CMB/LSS verodostojnost.

64. Očekivani oblik rezultata

Rezultat treba da bude ograničenje:

\[\xi < \xi_{\rm max}(m_X,\alpha,\gamma,f_{\rm vis},\ldots)\]

a ne jedan proizvoljan broj.

Na primer:

\[\xi_{\rm max}=\xi_{\rm max}(m_X,\alpha,\gamma)\]

Ovo čini rezultat pogodnim za publikaciju i naknadno poređenje sa drugim modelima tamnog sektora.

65. Glavni opservacioni diskriminator

Najinteresantniji test:

vezu hipotetičke tamne komponente sa istorijom rasta BH.

Ako proizvedena komponenta potiče iz primordijalnog mehanizma, njeno obilje određuje rani Univerzum.

Ako je:

\[Q_X\propto\dot\rho_{\rm acc}\]

onda treba da bude povezana sa kosmičkom istorijom AGN.

kvantitativno različitu korelaciju sa istorijom BH/AGN, nakon uračunavanja običnog grupisanja galaksija.

66. Ograničenja ovog preprinta

Ograničenja treba eksplicitno navesti.

1.

Nije izvedena specifična fundamentalna interakcija.

2.

Postojanje emisije tamnog sektora iz astrofizičkih crnih rupa nije demonstrirano.

3.

Potpuna numerička populaciona sinteza nije izvršena.

4.

Bolcmanova/CMB analiza verodostojnosti nije izvršena.

5.

Tačan \(f_{\rm bound}\) nije izračunat.

6.

Spektar proizvodnje \(dN_X/dp\) nije specificiran.

7.

Nisu isključeni svi alternativni izvori.

Rad ostaje fenomenološki istraživački okvir sa ilustrativnim proračunom energetskog budžeta. Tamna komponenta nije detektovana, mikroskopska stopa stvaranja nije izvedena i ne tvrdi se da je neka oblast kosmoloških parametara prošla potpunu analizu verodostojnosti.

67. Šta rad tvrdi

Potkrepljen rezultat je uslovna procena budžeta: za zadati SMBH akrecioni model \(\xi_0\simeq1.42\times10^{-6}f_{\rm conv}\). Zato je kosmološki značajnu zastupljenost teško dobiti pri slabom pretvaranju. Procena ne utvrđuje da samo pretvaranje postoji. Ostaje otvoreno da li neka konkretna interakcija stvara stabilne čestice sa potrebnim spektrom, preživljavanjem i grupisanjem.

68. Šta rad NE tvrdi

BH se ovde ne poistovećuju sa svom tamnom materijom niti sa belim rupama. Ovaj okvir ne utvrđuje postojanje ćerke-univerzuma ili procesa kvantne gravitacije.

69. Spekulativna proširenja

Prelazi iz crne rupe u belu rupu, ćerke-univerzumi i procesi promene topologije predstavljaju spekulativna proširenja. Zahtevaju kauzalni i dinamički model izvan ovog rada i ne koriste se u energetskoj proceni ili glavnim jednačinama izvora.

70. Zaključak

Predložen je fenomenološki okvir za testiranje hipoteze da astrofizičke crne rupe mogu biti izvor subdominantne komponente tamnog sektora.

Ključna jednačina:

\[\dot\rho_X+3H\rho_X=Q_X\]

sa populaciono-integrisanim izvorom:

\[Q_X=c^2\int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}M\Gamma_{\rm BH}Y_X\]

Istorijska gustina komponente:

\[\rho_X(t)=\int^t dt'\,Q_X(t')\left(\frac{a'}a\right)^3\mathcal S_X\]

Ovo vodi do centralnog zaključka:

Današnja populacija BH i njeno istorijsko oslobađanje energije različite su veličine povezane zajedničkim budžetom rasta i energije.

Test mora zajedno koristiti populaciju i istoriju njenog rasta. Današnja gustina mase BH ostaje važno integralno ograničenje kroz energetski bilans; ne može se jednostavno odbaciti u korist istorijskog rezervoara energije.

\[\Phi_{\rm BH}(M,\chi,z)+\dot M_{\rm acc}(M,\chi,z)\rightarrow Q_X(z)\rightarrow\rho_X(z)\]

Ilustrativni SMBH budžet daje \(\xi_0\simeq1.42\times10^{-6}f_{\rm conv}\), pa pretvaranje jednog procenta obezbeđuje približno \(1.4\times10^{-8}\) referentne gustine tamne materije. Širi kanali izvora zahtevaju dodatne proračune. Ova procena ne pokazuje mikroskopski kanal niti utvrđuje opservaciono dozvoljen model.

Zbog toga je centralno naučno pitanje formulisano na sledeći način:

Može li konkretna kauzalno dosledna interakcija pretvoriti raspoloživu energiju u stabilne čestice koje ostaju dovoljno hladne i zadovoljavaju ograničenja populacije, elektromagnetnih, gravitacionih i kosmoloških podataka?

Ovo pitanje je konkretno, kvantitativno i potencijalno falsifikabilno.

Dodatak A. Jednačine i potrebni uslovi zatvaranja

Za stabilnu homogenu komponentu koriste se energetska jednačina i izvor integrisan po populaciji:

\[\dot\rho_X+3H(\rho_X+P_X)=Q_X,\qquad Q_X=\int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}L_X.\]

Za fizičku brojnu gustinu po masi i spinu, šematska jednačina kontinuiteta populacije glasi:

\[\partial_t n_{\rm BH}+3Hn_{\rm BH}+\partial_M(\dot M n_{\rm BH})+\partial_\chi(\dot\chi n_{\rm BH})=S_{\rm seed}+S_{\rm merger,gain}-S_{\rm merger,loss}.\]

Članovi nastanka početnih objekata i dobitka/gubitka pri spajanjima ne smeju dvaput brojati iste događaje; još treba zadati jezgra spajanja, evoluciju spina i granične uslove. Komovna populacija \(\bar n=a^3n\) uklanja eksplicitni član razređenja kada se svi članovi dosledno transformišu.

U minimalnom modelu podele akrecione energije:

\[\dot M_{\rm BH}=(1-\epsilon_{\rm acc})\dot M_{\rm in},\qquad L_X=f_{\rm conv}\epsilon_{\rm acc}\dot M_{\rm in}c^2.\]

Zajedno sa faznom jednačinom iz odeljka 24 i kompenzujućim gubicima iz odeljka 11, ovo su jednačine koje treba zatvoriti konkretnim mehanizmom i modelom populacije. One još ne predstavljaju rešeni kosmološki model.

Dodatak B. Bezdimenziona formulacija

Definišimo:

\[x=\ln a\]

Tada:

\[\frac{d\rho_X}{dx}+3\rho_X=\frac{Q_X}{H}\]

Za komovnu gustinu:

\[\bar\rho_X=a^3\rho_X\]

dobijamo:

\[\frac{d\bar\rho_X}{dt}=a^3Q_X\]

Prema tome:

\[\bar\rho_X(t)=\int^t a^3(t')Q_X(t')dt'\]

Ovo je najpogodniji oblik za numeričku integraciju.

Prikazani integral pretpostavlja nultu početnu zastupljenost, stabilne hladne čestice i odsustvo gubitaka; inače se dodaju početni član i odgovarajuća evolucija gubitaka ili impulsa. Pri prelasku na crveno pomeranje koristi se \(dt=-dz/[(1+z)H(z)]\), uz obrnuti redosled granica integracije.

Dodatak C. Efektivna efikasnost izvora

Definišimo:

\[\epsilon_{\rm eff}(z)=\frac{Q_X}{\dot\rho_{\rm acc}c^2}\]

Tada:

\[Q_X=\epsilon_{\rm eff}\dot\rho_{\rm acc}c^2\]

Ako je \(\epsilon_{\rm eff}\) konstantan:

\[\rho_X(t)=\epsilon_{\rm eff}\int^t dt'\,\dot\rho_{\rm acc}(t')c^2\left(\frac{a'}a\right)^3\]

Ako zavisi od mase:

\[\epsilon_{\rm eff}=\epsilon_0\left(\frac{M}{M_0}\right)^\alpha(1+z)^\gamma g(\chi)\]

Dodatak D. Skup parametara repernog modela

Minimalni skup parametara:

\[\theta=\{\epsilon_0,\alpha,\gamma,m_X,\tau_X,f_{\rm bound},f_{\rm vis}\}\]

Dodatno:

\[\beta\]

za zavisnost prinosa od mase i

\[\chi_0\]

za zavisnost od spina.

Dodatak E. Glavni kriterijum izvodljivosti

Za razmatrani subdominantni scenario pretvaranja potrebni su \(0\le\xi<1\), fizički raspoloživ budžet izvora i mehanizam sa dozvoljenim efikasnostima. Celokupan predviđeni skup opažljivih veličina, uključujući spektre snage, CMB, vidljive pozadine i demografiju BH, treba uporediti sa zajedničkom funkcijom verodostojnosti koja uključuje kovarijansu i pomoćne parametre. Granice spektara ili ubrizgane snage u pojedinačnim tačkama samo su aproksimacije za konkretan model. Prolazak ovih testova značio bi saglasnost, a ne otkriće ili jedinstvenost.

Dodatak F. Radna klasifikacija scenarija

Scenario

Glavni izvor

Vremenska zavisnost

Glavni test

Isparavanje PBH

Hawkingovo zračenje

rani Univerzum

BBN/CMB/gama

Astrofizička akrecija

AGN/rast crnih rupa

\(z\sim0-10\)

LSS/CMB/istorija crnih rupa

Spajanje crnih rupa

energija spajanja

epizodično

GW korelacija

Ekstrakcija spina

rotacija crne rupe

zavisno od spina

populacija spinova crnih rupa

Mikrofizika horizonta

nepoznato

zavisno od modela

multi-messenger

Dodatak G. Glavno falsifikabilno predviđanje

Ako je model realizovan kroz izvor povezan sa akrecijom:

\[Q_X(z)\propto\dot\rho_{\rm acc}(z)\]

onda obilje \(X\) treba da ima određen vremenski kernel:

\[K_X(z,z')\]

Prema tome, različiti opservacioni efekti tamnog sektora treba da budu konzistentni sa istom funkcijom:

\[K_X(z,z')\]

Ovo omogućava prelazak od jednostavne tvrdnje o mogućnosti proizvodnje tamne materije crnim rupama ka kvantitativnom testiranju hipoteze.

Reference i ključne smernice

  1. Planck Collaboration. Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters. arXiv:1807.06209.
  2. J. Auffinger. Primordial black hole constraints with Hawking radiation - a review. arXiv:2206.02672.
  3. N. Bernal, Ó. Zapata. Dark Matter in the Time of Primordial Black Holes. arXiv:2011.12306.
  4. P. Gondolo, P. Sandick, B. Shams Es Haghi. The Effects of Primordial Black Holes on Dark Matter Models. arXiv:2009.02424.
  5. A. Comastri et al.. Mass without radiation: heavily obscured AGN, the X-ray Background and the Black Hole Mass Density. arXiv:1501.03620.
  6. Q. Yu, Y. Lu. Toward precise constraints on growth of massive black holes. arXiv:0808.3777.
  7. A. Merloni. Cosmological evolution of supermassive black holes and AGN: a synthesis model for accretion and feedback. arXiv:0808.0070.
  8. A. Marconi et al.. Local Supermassive Black Holes, Relics of Active Galactic Nuclei and the X-ray Background. arXiv:astro-ph/0311619.
  9. K. Jahnke. The Soltan argument at z=6: UV-luminous quasars contribute less than 10% to early black hole mass growth. arXiv:2411.03184.
  10. M. Andrés-Carcasona et al.. Constraints on primordial black holes from LIGO-Virgo-KAGRA O3 events. arXiv:2405.05732.
  11. R. Foot, S. Vagnozzi. Dissipative hidden sector dark matter. arXiv:1409.7174.
  12. A. Boudon et al.. Baryogenesis through Asymmetric Hawking Radiation from Primordial Black Holes as Dark Matter. arXiv:2010.14426.
  13. K. Agashe et al.. Light in the Shadows: Primordial Black Holes Making Dark Matter Shine. arXiv:2409.13811.
  14. R.-G. Cai, S. Sun, B. Zhang, Y.-L. Zhang. Dark fluxes from accreting black holes through several mechanisms. arXiv:2009.02315.
  15. K. A. Malik, D. Wands. Cosmological perturbations. arXiv:0809.4944.

Završna formulacija

Predloženi okvir ne zahteva pretpostavku da su same crne rupe tamna materija.

On razmatra slabiju mogućnost koja se može proveriti:

Populacija BH obezbeđuje hipotetički tamni izvor sa zadatom efikasnošću pretvaranja.

sa

\[\epsilon_X\ll1\]

i

\[\Omega_X<\Omega_{\rm DM}\]

Najvažniji predmet proučavanja nije pojedinačna crna rupa, već integrisani istorijski protok:

\[\mathcal T_X=\int Q_X(t)\left(\frac{a(t)}{a_0}\right)^3dt\]

Na taj način hipoteza se pretvara iz spekulativne tvrdnje u problem populacione sinteze + Bolcmanove evolucije + kosmološke inferencije.

Njen konačni status ne treba određivati samo na osnovu energetske procene, već na osnovu kombinovanog rezultata:

Demografija BH, istorija akrecije, mikroskopske interakcije, transport, CMB, struktura velikih razmera i opažanja kroz različite glasnike.

Sa ovom formulacijom, hipoteza može biti pretvorena u kvantitativno proverljiv model subdominantne komponente tamnog sektora.