Бiла дiра - dimabagow

АСТРОФІЗИЧНІ ЧОРНІ ДІРИ ЯК ПОТЕНЦІЙНЕ ДЖЕРЕЛО СУБДОМІНАНТНОГО КОМПОНЕНТА ТЕМНОГО СЕКТОРУ

Енергетичний скринінг, історично інтегрований потік та феноменологічна структура члена джерела

Препринт

Анотація

Розглядається можливість народження стабільної субдомінантної компоненти темного сектора за рахунок енергії, що вивільняється поза горизонтами астрофізичних чорних дір з акрецією. Народження частинок у зовнішній плазмі та видобування енергії обертання потребують конкретних взаємодій. Енергія, що перетнула класичний горизонт подій, не може просто повернутися назовні через невидимість продуктів; альтернативний процес за участю горизонту потребує окремого причинно узгодженого механізму.

Стаття навмисно не стверджує, що звичайні астрофізичні чорні діри є природою темної матерії. Натомість вона формулює вужчу гіпотезу: наявна космічна популяція чорних дір може забезпечувати додатковий член джерела для темної матерії або іншого стабільного компонента темного сектору.

Основний об'єкт аналізу визначається рівнянням

\dot\rho_X+3H(\rho_X+P_X)=Q_X,\qquad w_X=P_X/\rho_X

де \(X\) - стабільний компонент темного сектору, а \(Q_X\) - космологічний член джерела. Для нерелятивістського компонента

\dot{\rho}_{X}+3H\rho_X=Q_X

Джерело задається інтегруванням за популяцією чорних дір:

Q_X(z)= \int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}(M,\chi,z)\,\Gamma_{\rm BH}(M,\chi,z)\,Y_X(M,\chi,z)\,M c^2

де \(n_{\rm BH}\) - фізичний розподіл за масою та спіном, \(\Gamma_{\rm BH}\) - ефективна швидкість відносного перетворення енергії, а \(Y_X\) - частка перетвореної енергії, що переходить у відповідний компонент.

Модель розрізняє ефективність перетворення, утримання в гало та виживання частинок:

\epsilon_X\equiv Q_X/(\dot\rho_{\rm BH,feed}c^2)

f_{\rm bound}

f_{\rm surv}

які описують відповідно ефективність перетворення, частку енергії/частинок, що залишаються гравітаційно зв'язаними з гало, та частку, яка зберігається до відповідної епохи.

Доступна енергія є кількісним обмеженням. Оцінка за аргументом Солтана в розділі 28 дає сучасну частку близько 1,4 × 10⁻⁶, помножену на ефективність перетворення, для прийнятого бюджету акреції на надмасивні BH. Після цього окремо перевіряються кінематика, космологічна еволюція, випромінювання та обмеження на популяцію.

Ми вводимо поняття історичного потоку:

\mathcal T_X(t)= \int_{t_{\rm form}}^{t} dt'\,Q_X(t') \left[\frac{a(t')}{a(t)}\right]^3 \mathcal S_X(t',t)

Для холодних частинок \(\mathcal S_X\) є ймовірністю виживання; вона дорівнює одиниці, якщо частинки не розпадаються й не зникають в інших процесах. Вихід із гало не зменшує загального вмісту у Всесвіті. Релятивістське червоне зміщення потребує врахування імпульсів, описаного в розділі 24.

Це дозволяє відрізнити гіпотезу, залежну від поточної щільності чорних дір, від гіпотези, у якій домінує інтегрована історія росту чорних дір.

Стаття не вводить конкретної мікроскопічної теорії темного сектору. Натомість вона будує мінімальну феноменологічну структуру, у якій мікрофізика стискається до набору параметрів

\{\Gamma_0,\alpha,\beta, \epsilon_X, f_{\rm bound}, f_{\rm surv}, m_X,\sigma_X,\ldots\}

Для субдомінантного компонента ми вимагаємо

\Omega_X < \Omega_{\rm DM}

Раніше розглянутий пошуковий інтервал

10^{-6}\lesssim \frac{\Omega_X}{\Omega_{\rm DM}} \lesssim 10^{-1}

не є допустимою областю, виведеною з даних. Навіть його нижня межа не досягається за слабкого перетворення в наведеній моделі SMBH; необхідно розглядати й менший вміст. У роботі наведено ілюстративну енергетичну оцінку, але не підбір параметрів за функцією правдоподібності й не свідчення існування нової компоненти.

Таким чином, запропоновану гіпотезу можна перетворити з якісної ідеї на модель, що піддається перевірці: необхідно реконструювати історичну популяцію чорних дір, розрахувати \(Q_X(z)\), еволюцію утвореного компонента та одночасно перевірити CMB, великомасштабну структуру, динаміку гало, непряме виявлення, космічні фони та обмеження на популяцію.

1. Вступ

Сучасна космологічна модель вимагає холодного або майже холодного невидимого компонента, який становить більшу частину матерії у Всесвіті. Космологічні дані Planck дають

\Omega_c h^2\simeq 0.120

що відповідає домінантному небaryонному компоненту матерії у стандартній картині \(\Lambda\)CDM.

Походження темної матерії залишається невідомим.

Більшість стандартних підходів припускає, що темна матерія була створена в ранньому Всесвіті, а потім еволюціонувала переважно як майже беззіткнювальна матерія. Однак логічно можливий і інший клас сценаріїв:

Звичайна речовина → акреційна система з BH → гіпотетичні темні частинки.

У такому випадку темний сектор не обов'язково має бути повністю популяцією первинних реліквій. Частина його може продовжувати утворюватися після формування перших зір, галактик і чорних дір.

Саме ця можливість є предметом даної роботи.

Однак від самого початку необхідно розрізняти дві гіпотези.

Гіпотеза A

Первинні чорні діри (PBH) самі є темною матерією.

Гіпотеза B

Звичайні астрофізичні чорні діри є джерелами додаткового компонента темного сектору.

Дана робота переважно досліджує гіпотезу B.

Це розрізнення є важливим.

PBH могли сформуватися в ранньому Всесвіті та справді розглядаються як можливий компонент темної матерії; водночас їхнє випаровування Гокінга може породжувати стабільні частинки темного сектору. Література показує, що випаровування PBH може впливати на реліктову кількість і навіть повністю або частково породжувати темну матерію в певних діапазонах параметрів.

Але астрофізичні чорні діри мають іншу історію:

M\sim 3M_\odot\;\ldots\;10^9M_\odot

BH зоряних мас виникають у ході зоряної еволюції, а масивні зародки можуть з’являтися й унаслідок прямого колапсу. Подальше зростання пов’язане з акрецією та злиттями всередині галактичних структур, що еволюціонують. Наведений діапазон мас є ілюстрацією, а не межею спостережуваної популяції.

Тому джерелом темного сектору в цьому випадку не обов'язково має бути випаровування Гокінга.

Більш природне феноменологічне питання полягає в наступному:

чи може невелика частина енергії, що проходить через популяцію астрофізичних чорних дір, систематично перетворюватися на стабільні ступені свободи темного сектору?

Це центральна гіпотеза даної роботи.

2. Статус гіпотези

Поточна модель є феноменологічною моделлю джерела, а не повною фундаментальною теорією.

Ми не стверджуємо існування конкретної взаємодії

\mathcal L_{\rm int}

між Стандартною моделлю та темним сектором.

Натомість ми припускаємо існування певного ефективного каналу

Зовнішнє оточення BH → X за наявності відповідної взаємодії.

де \(X\) є стабільною або достатньо довгоживучою частинкою темного сектору.

У найбільш загальному вигляді:

L_X=\epsilon_X\dot M_{\rm in}c^2

де

0\leq \epsilon_X\leq1

Ключове завдання полягає не в тому, щоб довести, що \(\epsilon_X\neq0\), а в тому, щоб визначити, чи допускають спостереження діапазон

0<\epsilon_X\ll1

Саме цей діапазон робить гіпотезу фізично цікавою.

3. Чому чорні діри є природною мішенню для такого пошуку

Активні системи з BH, що акретують або обертаються, можуть забезпечувати такі умови; ці властивості не стосуються кожної чорної діри:

- високою густиною енергії;

- сильним гравітаційним червоним зміщенням;

- високими темпами акреції під час активних фаз;

- релятивістською плазмою;

- сильними магнітними полями в акреційних системах;

- релятивістськими джетами;

- великим резервуаром енергії обертання;

- фізикою масштабів горизонту.

Крім того, популяція чорних дір має значний інтегрований історичний потік росту.

Для SMBH стандартний підхід типу Солтана пов'язує інтегровану густину світності AGN із накопиченою густиною маси чорних дір. Спостережувана локальна популяція чорних дір загалом узгоджується зі значною часткою маси SMBH, накопиченої через акрецію.

Тому природно ввести величину:

E_{\rm BH,history}=\int dt\,\dot E_{\rm acc}(t)

яка має розмірність енергії, тоді як миттєва світність має розмірність потужності. Їхні числові значення не можна порівнювати без зазначення часового масштабу. Інтеграл також має узгоджуватися з виміряним зростанням та енергетичним балансом популяції.

Саме тому аналіз має зосереджуватися не на окремій чорній дірі, а на інтегрованому за популяцією джерелі.

4. Енергетичний скринінг

У всій роботі \(\rho_X\), \(\rho_{\rm DM}\) та \(P_X\) позначають фізичні густини енергії й тиск в однакових одиницях; \(Q_X\) задає енергію, введену в одиницю фізичного об’єму за одиницю власного часу. \(\rho_{\rm BH}\) є густиною маси чорних дір. Риска зверху позначає величину на супутній об’єм; \(a(t_0)=1\). Безрозмірний спін позначено \(\chi=cJ/(GM^2)\), а \(a(t)\) використовується лише для космологічного масштабного фактора.

Для об’єкта з акрецією введемо повну ефективність \(\epsilon_{\rm acc}\) виділення енергії поза горизонтом. У мінімальній моделі ця енергія розподіляється між видимим випромінюванням і темним сектором; додаткові механічні втрати та видобування енергії обертання не враховуються:

L_{\rm available}=\epsilon_{\rm acc}\dot M_{\rm in}c^2,\qquad L_X=f_{\rm conv}L_{\rm available},\qquad L_{\rm vis}=(1-f_{\rm conv})L_{\rm available}

\dot M_{\rm BH}=(1-\epsilon_{\rm acc})\dot M_{\rm in},\qquad 0\le f_{\rm conv}\le1

Видима й темна світності ділять один енергетичний бюджет. Додатковий незалежний відтік у темний сектор, джет або видобування енергії обертання потребують окремих членів балансу. Енергія спокою \(\rho_{\rm BH}c^2\) задає масштаб, але не є автоматично доступним запасом. Ефективності зрештою мають випливати з фізичного механізму.

5. Три енергетичні частки

Щоб уникнути найбільш небезпечної концептуальної неоднозначності, ми вводимо три різні коефіцієнти.

5.1. Ефективність перетворення

f_{\rm conv}=\frac{E_{\rm converted}}{E_{\rm available}}

Це ефективність генерації енергії темного сектору.

5.2. Зв'язана частка

Не вся утворена енергія обов'язково стає частиною галактичного гало.

Визначимо

f_{\rm bound}(t)=N_{X,\rm bound}(t)/N_{X,\rm surviving}(t)

Для релятивістського утворення:

f_{\rm bound}\ll1

може бути природним.

Для достатньо холодного компонента:

f_{\rm bound}\rightarrow1

може бути можливим.

Таким чином, генерація енергії та формування гало є різними задачами.

У наведеному відношенні чисельник і знаменник рахують зв’язані та вцілілі частинки однієї групи народження в одну епоху. Вихід із гало не означає знищення частинки.

5.3. Частка, що зберігається

Якщо \(X\) є нестабільною частинкою,

X\rightarrow Y+\cdots

то необхідно враховувати її час життя:

\tau_X

Вводимо

f_{\rm surv}(t',t)

Тоді внесок джерела становить:

d\rho_X(t;t')=Q_X(t')dt' \left(\frac{a(t')}{a(t)}\right)^3 f_{\rm surv}(t',t)

Для стабільної частинки

f_{\rm surv}=1

6. Основне рівняння члена джерела

Для холодного компонента:

\dot\rho_X+3H\rho_X=Q_X

де

Q_X(z)= \int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}(M,\chi,z) \Gamma_{\rm BH}(M,\chi,z)\,Y_X(M,\chi,z) M c^2

де:

- \(M\) - маса чорної діри;

- \(\chi\equiv cJ/(GM^2)\) - безрозмірний спін;

- \(n_{\rm BH}\) - функція розподілу чорних дір за масою та спіном;

- \(\Gamma_{\rm BH}\) - дробова швидкість джерела;

- \(Y_X\) - вихід енергії темного сектору.

Останні два параметри можна об'єднати:

\eta_X(M,\chi,z)=\Gamma_{\rm BH}Y_X

Тоді

Q_X= c^2\int dM\,d\chi\,n_{\rm BH} M\eta_X

Тут \(n_{\rm BH}=dN/(dV_{\rm phys}\,dM\,d\chi)\); величини \(\Gamma_{\rm BH}\) та \(\eta_X=\Gamma_X=\Gamma_{\rm BH}Y_X\) мають розмірність оберненого часу. \(Y_X\) безрозмірна. Швидкості можуть включати частку часу активності. Спостережувані супутні числові густини перед підставлянням у фізичний \(Q_X\) потрібно помножити на \(a^{-3}\).

7. Інтегрований за популяцією потік

Для спочатку відсутньої стабільної холодної компоненти однорідний розв’язок має вигляд:

\rho_X(t)=\mathcal T_X(t)=a^{-3}(t)\int_{t_i}^{t}a^3(t')Q_X(t')\,dt'.

Початковий вміст додає член \(\rho_X(t_i)[a(t_i)/a(t)]^3\). Для нерелятивістських частинок зі сталим часом життя в системі спокою підінтегральний вираз множиться на \(\exp[-(t-t')/\tau_X]\). Релятивістське народження потребує еволюції розподілу імпульсів; довільний коефіцієнт виживання її не замінює.

Частка утримання в гало не множить середню космічну густину. Частинки, що залишили галактику, залишаються у Всесвіті. Їхній просторовий розподіл і внесок у гало є окремими задачами перенесення. Сучасна густина залежить від історії джерела й тому не зобов’язана відстежувати поточну активність BH. Цей інтеграл є стандартним розв’язком рівняння неперервності з джерелом, а не новим законом збереження.

8. Історична пам'ять

Одна й та сама BH може пройти стадії утворення зародка, акреції та злиттів, тому це не неперетинні популяції, які можна просто додати. Натомість розділяються фізичні канали джерела без подвійного обліку тієї самої виділеної енергії:

Тоді:

Q_X= Q_{\rm seed} + Q_{\rm acc} + Q_{\rm merger}

Для SMBH акреційний член є особливо природним:

Q_{\rm acc}=c^2\int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}\dot M_{\rm in}\epsilon_{\rm acc}f_{\rm conv}

Внесок, пов'язаний зі злиттями, також можливий:

Q_{\rm merger} \propto \int dM_1\,dM_2\, R_{\rm merge} E_{\rm available} f_{\rm conv}

Однак канал злиття не розглядається як основний у цій роботі.

Основним орієнтиром є:

Q_X\propto \int n_{\rm BH}\dot M_{\rm acc}\,dM\,d\chi

9. Мінімальна орієнтирна модель

Для отримання тестованих масштабних співвідношень введемо:

\Gamma_{\rm BH}=\Gamma_0 \left(\frac{M}{M_0}\right)^\alpha g(\chi) h(z)

Y_X=Y_0 \left(\frac{M}{M_0}\right)^\beta s(\chi) r(z)

Тоді:

Q_X=\Gamma_0Y_0c^2\int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}M \left(\frac{M}{M_0}\right)^{\alpha+\beta} g(\chi)s(\chi)h(z)r(z)

Якщо

\alpha+\beta=0

то джерело приблизно простежує густину маси чорних дір:

Q_X\propto\rho_{\rm BH}

Якщо

\alpha+\beta>0

вага зміщується до більших мас за фіксованих популяції та ваг за спіном. Фактичне домінування також залежить від функції мас, її меж і розподілу активності.

Якщо

\alpha+\beta<0

то внесок зміщується в бік менших чорних дір.

Це перетворює модель на задачу популяційного синтезу.

Така вага джерела визначає лише суму \(\alpha+\beta\), якщо незалежні дані не розділяють швидкість і вихід. Множники спіну та червоного зміщення також потребують узгодженого усереднення; сама умова \(\alpha+\beta=0\) не усуває цих залежностей.

10. Функція мас чорних дір

Позначимо:

\Phi(M,z)=\frac{dN}{dV_{\rm phys}\,d\ln M}=M\int d\chi\,n_{\rm BH}(M,\chi,z)

Тоді:

\rho_{\rm BH}(z)=\int d\ln M\,M\Phi(M,z)

Джерело:

Q_X(z)=c^2\int d\ln M\,M\Phi(M,z)\Gamma_X(M,z)

Це зручніша форма для чисельного аналізу.

Функція мас SMBH є одним з основних емпіричних інструментів для реконструкції історії росту чорних дір.

11. Зворотний вплив

Темний канал має отримувати енергію з визначеного джерела. Для одного об’єкта додаткова темна світність за фіксованих надходження речовини та інших втрат дає:

\dot M_{\rm BH}=\dot M_{\rm standard}-L_{X,\rm extra}/c^2.

Якщо темне випромінювання замінює частину наявного випромінювального потоку, використовується розподіл із розділу 4; повторне віднімання означало б подвійний облік втрат. Злиття й видобування енергії обертання потребують відповідних балансів маси та кутового моменту.

Для популяції \(Q_X\) має розмірність енергії на об’єм і час; його не можна безпосередньо додавати до швидкості зміни маси одного об’єкта. На однорідному рівні компоненти, що віддають енергію, мають компенсувальні втрати:

\dot\rho_i+3H(\rho_i+P_i)=Q_i,\qquad \sum_iQ_i=0.

Усі \(\rho_i\) у цьому рівнянні є густинами енергії. Для малого збурення темна потужність має бути малою відносно відповідної потужності надходження або видобування енергії, а не відносно чистої швидкості зростання BH, яка може дорівнювати нулю.

12. Основне безрозмірне співвідношення

Найбільш інформативним параметром є:

\epsilon_X(z)=\frac{Q_X(z)}{\dot\rho_{\rm BH,feed}(z)c^2}

Якщо

\epsilon_X\ll1

це означає малу частку підведеної енергії спокою. Мала зміна бюджету випромінювання додатково потребує \(\epsilon_X/\epsilon_{\rm acc}=f_{\rm conv}\ll1\) у моделі поділу енергії; малість треба перевіряти відносно відповідного резервуара. Із першої нерівності це саме собою не випливає.

Водночас інтегрований внесок може бути ненульовим:

\frac{\rho_X}{\rho_{\rm DM}}=\frac{\int dt\,Q_Xa^3}{\rho_{\rm DM,0}a_0^3}

Це допускає режим:

\epsilon_X\ll1, \qquad \Omega_X/\Omega_{\rm DM}\neq0

13. Чому субдомінантний компонент є найприроднішим сценарієм

Пояснення всієї темної матерії через канал джерела, пов'язаний з астрофізичними чорними дірами, є значно складнішим.

Для повного компонента необхідно:

\Omega_X=\Omega_{\rm DM}

Ефективність джерела тоді має бути достатньо високою, не порушуючи:

- функції світності AGN;

- космічні фони;

- інжекцію енергії в CMB;

- динаміку гало;

- формування структури;

- функції мас чорних дір;

- обмеження непрямого виявлення.

Для субдомінантного компонента вимоги слабші:

\Omega_X=\xi\Omega_{\rm DM}, \qquad 0<\xi<1

Для порівняння розглядається пошуковий інтервал:

10^{-6} \lesssim\xi\lesssim10^{-1}

Цей інтервал не є виведеною чи бажаною областю. Модель слабкого перетворення на SMBH у розділі 28 дає менші значення. Сама лише субдомінантність не гарантує достатнього бюджету, холодної кінематики або спостережуваних ефектів.

14. Чому PBH необхідно розглядати окремо

PBH мають принципово інше часовий ядро.

Для незарядженої чорної діри Шварцшильда, що не обертається, температура Гокінга дорівнює:

T_H= \frac{\hbar c^3} {8\pi G M k_B}

тобто

T_H\propto M^{-1}

Тому малі PBH можуть ефективно продукувати важкі частинки, якщо

k_BT_H\gtrsim m_Xc^2

Випаровування PBH вже використовується як механізм утворення темної матерії та інших станів за межами Стандартної моделі.

Але для звичайних зоряних і надмасивних чорних дір:

k_BT_H\ll 1\,{\rm eV}

і випромінювання Гокінга практично не є ефективним механізмом утворення масивної темної матерії.

Тому гіпотеза астрофізичних чорних дір має використовувати інше джерело:

Акреція, обертання або зовнішнє оточення → X.

а не стандартне випаровування Гокінга.

15. Можливі мікроскопічні канали

Феноменологічна модель не фіксує мікрофізику, але допускає кілька класів механізмів.

15.1. Випромінювання в прихований сектор

Акреційна плазма → X та інші продукти,

якщо існує слабкий зв'язок.

15.2. Гравітаційне утворення

Залежний від часу гравітаційний фон у принципі може породжувати частинки в конкретній квантовопольовій моделі; сам схематичний тензор енергії-імпульсу не задає ні швидкості, ні спектра народження.

15.3. Канал, пов'язаний із горизонтом

Процес можна феноменологічно параметризувати як:

Припущений процес за участю горизонту → X.

Такий механізм потребує повного квантово-гравітаційного або напівкласичного виведення і тому не розглядається в цій роботі як встановлений.

Слабкий електромагнітний зв’язок не дозволяє частинкам перетинати класичний горизонт подій назовні. Канал зовнішньої плазми, надвипромінювання та припущений квантовий процес біля горизонту є різними механізмами; їм не можна приписувати спільну ефективність виходу без виведення.

15.4. Надвипромінювання / вилучення обертальної енергії в прихованому секторі

Якщо темний сектор містить відповідні поля, енергія обертання чорної діри може бути пов'язана з процесами надвипромінювання.

Тоді джерело може залежати від спіну:

Q_X\propto g(\chi)

Це робить розподіл за спіном спостережуваною частиною моделі.

16. Просторовий член джерела

Космологічного \(Q_X(z)\) недостатньо для перевірки гіпотези на галактичному рівні.

Необхідно ввести:

Q_X(\mathbf x,t)=\int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}(M,\chi,\mathbf x,t)\Gamma_XMc^2

Тоді:

\dot\rho_X+3H\rho_X+\frac{1}{a}\nabla\cdot(\rho_X\mathbf v_X)=Q_X

Це рівняння дозволяє досліджувати просторову кореляцію між:

- густиною чорних дір;

- зоряною масою;

- активністю AGN;

- морфологією галактик;

- гало темної матерії.

17. Ключова відмінність між джерелом і трасером

Важливо:

\rho_X\not\propto n_{\rm BH}

у загальному випадку.

Причина полягає в транспорті.

Якщо частинки залишають гало галактики, а не лише найближче оточення BH,

f_{\rm bound}\ll1

то локальне джерело не обов'язково формує локальне гало.

Тому необхідне ядро:

K(\mathbf x,t|\mathbf x',t')

Тоді:

\rho_X(\mathbf x,t)=\int_{t_i}^{t}dt'\,d^3x'\,K(\mathbf x,t|\mathbf x',t')Q_X(\mathbf x',t')

Це перетворює гіпотезу на задачу транспорту + популяційного синтезу.

Використовуються супутні координати \(\mathbf x\). Ядро враховує розширення, якобіан об’єму та виживання. Для стабільного холодного однорідного джерела воно задовольняє \(\int d^3x'K=[a(t')/a(t)]^3\), відтворюючи розділ 7. Ядро окремого гало може враховувати захоплення й вихід, але його інтеграл не дорівнює загальному космічному вмісту.

18. Збурення

Нехай \(\Delta Q_X\) позначає збурення фізичного джерела енергії в заданому калібруванні. Для фіксованого інтервалу маси та спіну введемо відносні збурення чисельності, швидкості перетворення й виходу. У першому порядку:

\Delta Q_X=c^2\int dM\,d\chi\,\bar n_{\rm BH}M\bar\Gamma_{\rm BH}\bar Y_X(\delta_n+\delta_\Gamma+\delta_Y).

Загальний ефективний контраст потребує усереднення за інтервалами з вагою джерела. Еволюція контрасту густини також залежить від збурень метрики, тиску, імпульсу народжуваних частинок і компенсувальних збурень у секторі, що віддає енергію. Відгук через функцію Гріна слід виводити із цієї замкненої системи. Пізнє джерело може змінювати передавальну функцію, але в роботі не обчислено ні цю функцію, ні спостережне обмеження.

Лише в цій формулі збурень риска над \(n,\Gamma,Y\) позначає однорідне фонове значення, а не перехід до супутнього об’єму.

19. Ефективне зміщення

Визначимо контраст джерела \(\delta_q=\Delta Q_X/Q_X\) відносно однорідного ненульового джерела. На великих масштабах можна прийняти:

\delta_q\simeq b_Q(k,z)\delta_m.

Коефіцієнт зміщення темної компоненти не зобов’язаний дорівнювати одиниці й може залежати від масштабу та часу. Для нерелятивістської речовини її внесок у повний контраст матерії має враховувати частку в усій речовині:

\delta_m=(1-F_X)\delta_{\rm rest}+F_X\delta_X,\qquad F_X=\rho_X/\rho_m.

Тут \(\delta_{\rm rest}\) включає баріони та решту темної матерії. Відношення \(\xi=\rho_X/\rho_{\rm DM}\) не є вагою в цьому рівнянні повної матерії. Зміна спектра потужності потребує розв’язання пов’язаних рівнянь збурень; один коефіцієнт зміщення не дає передбачення.

20. Обмеження раннього Всесвіту

Звичайні BH як залишки зір виникають після зір і не створюють компоненту під час BBN або рекомбінації. Раніше джерело потребує окремого сценарію утворення та перевірки розширення, зменшення сектора, що віддає енергію, і збурень під час BBN, рівності речовини й випромінювання та рекомбінації.

\rho_X(t_*)=a_*^{-3}\int_{t_i}^{t_*}a^3(t)Q_X(t)\,dt.

Це густина при рекомбінації для спочатку відсутньої стабільної холодної компоненти. Її та зміну сектора, що віддає енергію, потрібно зіставляти з даними. Інтеграла без розрідження або порівняння лише з випромінюванням недостатньо. Пізнє народження все одно обмежується лінзуванням CMB і структурою.

21. Пізнє джерело

Якщо

\[Q_X(z)\]

є максимальним при

z\lesssim 10

то утворений компонент за своєю природою є пізньогенерованим.

Це відрізняє модель від стандартної термальної реліквії.

Однак пізнє утворення не слід автоматично вважати перевагою.

Необхідно перевірити:

\Delta N_{\rm eff}

лінзування CMB,

спектр потужності матерії,

формування гало,

криві обертання галактик,

кількість супутників.

22. Температура темного сектору

Якщо \(X\) утворюється релятивістським, його початковий розподіл імпульсів має вигляд:

\mathcal F_X(p,t_{\rm prod})

Після червоного зміщення:

p(t)=p_{\rm prod} \frac{a(t_{\rm prod})}{a(t)}

Довжина вільного пробігу:

\lambda_{\rm FS}=\int_{t_{\rm prod}}^{t_0} \frac{v(t)}{a(t)}dt

Тепла або гаряча компонента може пригнічувати дрібномасштабну структуру; величина ефекту залежить і від її вмісту, і від розподілу імпульсів.

Діагностичну величину

\lambda_{\rm FS}

тому потрібно перевіряти разом із часткою компоненти. Велика довжина вільного пробігу сама по собі не виключає як завгодно малої субкомпоненти.

23. Режим холодного утворення

Для отримання поведінки, подібної до темної матерії, бажано мати:

\frac{p_{\rm prod}}{m_Xc} \ll1

або достатнє червоне зміщення між народженням і перевірюваною епохою. Компонента, що виникла після перших зір, не може стати холодною до рівності речовини й випромінювання, яка настала раніше.

Якщо частинки утворюються з

p_{\rm prod}\gg m_Xc

вони спочатку поводяться як випромінювання:

w_X\simeq\frac13

Тоді рівняння має вигляд:

\dot\rho_X+4H\rho_X=Q_X

Після переходу до нерелятивістського режиму:

\dot\rho_X+3H\rho_X=Q_X

Тому необхідно використовувати двохрежимну больцманівську еволюцію.

24. Мінімальна двокомпонентна еволюція

Єдиний розподіл у фазовому просторі неперервно описує перехід від релятивістського режиму до нерелятивістського. Нехай \(\mathcal F_X(p,t)\) є однорідним ізотропним числом заповнення з фізичним імпульсом \(p\):

(\partial_t-Hp\partial_p)\mathcal F_X=\mathcal C_{\rm prod}-\mathcal C_{\rm loss}.

E=\sqrt{m_X^2c^4+p^2c^2},\qquad \rho_X=\int d\Pi\,E\mathcal F_X,\qquad P_X=\int d\Pi\,\frac{p^2c^2}{3E}\mathcal F_X.

Міра дорівнює \(d\Pi=g_Xd^3p/(2\pi\hbar)^3\), де \(g_X\) враховує внутрішні стани. Енергетичні моменти дають:

\dot\rho_X+3H(\rho_X+P_X)=Q_X-D_X,\quad Q_X=\int d\Pi\,E\mathcal C_{\rm prod},\quad D_X=\int d\Pi\,E\mathcal C_{\rm loss}.

Для стабільних частинок без анігіляції, поглинання та інших процесів видалення член втрат відсутній. Тиск прямує до \(\rho_X/3\) у релятивістській границі та до нуля в холодній. Поділ розподілу на два інтервали можливий лише з членами переходу, що зберігають число частинок та енергію; зміна назви джерела не переводить уже наявні частинки. Чисельну еволюцію фазового розподілу тут не виконано.

Тут «стабільний компонент без втрат» виключає анігіляцію, поглинання та інші процеси видалення, а також розпад. Сама стабільність щодо розпаду не обнуляє зіткнювальний член втрат.

25. Популяційний синтез

Практичний розрахунок має бути побудований як:

\Phi(M,\chi,z) \rightarrow \dot M(M,\chi,z) \rightarrow Q_X(M,\chi,z) \rightarrow \rho_X(z) \rightarrow P(k,z),C_\ell,\rho_X(r)

Тобто послідовно необхідно моделювати:

1. функцію мас чорних дір;

2. розподіл за спіном;

3. історію акреції;

4. історію злиттів;

5. ефективність джерела;

6. спектр темного сектору;

7. транспорт;

8. космологічну еволюцію.

26. Орієнтирна модель популяції

Можна почати з сепарабельного наближення:

\Phi(M,\chi,z)=\Phi_M(M,z)P(\chi|M,z)

Тоді:

Q_X(z)=c^2\int d\ln M\,M\Phi_M(M,z)\Gamma_X(M,z)

Для

\Gamma_X=\Gamma_0\left(\frac{M}{10^8M_\odot}\right)^\alpha(1+z)^\gamma

отримуємо:

Q_X(z)=\Gamma_0c^2(1+z)^\gamma\int d\ln M\, M\Phi_M \left(\frac{M}{10^8M_\odot}\right)^\alpha

Це вже повністю придатна для чисельної реалізації модель.

У цих рівняннях \(\Gamma_X\) є ефективною швидкістю з урахуванням виходу та умовного усереднення за спіном. Її не можна повторно множити на вихід. Для цього припущення ще потрібно задати нормований розподіл спінів, функцію мас, скінченні межі мас і бюджет джерела.

27. Орієнтирна модель, пов'язана з акрецією

Більш фізично прозорим варіантом є:

Q_X=f_{\rm conv}\epsilon_{\rm acc}\dot\rho_{\rm acc}c^2

Тут:

\dot\rho_{\rm acc}=\int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}\dot M_{\rm acc}

Тоді:

Q_X=f_{\rm conv}\epsilon_{\rm acc}\dot\rho_{\rm acc}c^2

Це особливо зручно, оскільки \(\dot\rho_{\rm acc}\) пов'язана з густиною світності AGN через аргумент Солтана.

Тут \(\dot M_{\rm acc}=\dot M_{\rm in}\) є швидкістю надходження маси спокою, а не чистого зростання BH; \(\dot\rho_{\rm acc}\) задає цю швидкість на фізичний об’єм, а не повну похідну фізичної густини BH. Ефективність стосується повної виділеної потужності, визначеної в розділі 4.

28. Енергетична умова порядку величини

Для стабільної компоненти, що народжується холодною, сучасна густина енергії за сталої частки перетворення дорівнює \(\rho_{X,0}=f_{\rm conv}\bar U_{\rm available}\), де \(\bar U_{\rm available}=\int a^3\dot u_{\rm available}\,dt\). Множник \(a^3\) переводить фізичну густину потужності в потужність на супутній об’єм. Отже:

\xi_0=\frac{\rho_{X,0}}{\rho_{{\rm DM},0}},\qquad f_{\rm conv,req}=\frac{\xi_0\rho_{{\rm DM},0}}{\bar U_{\rm available}}.

Якщо потрібна частка перевищує одиницю, обране джерело енергії не забезпечує цільового вмісту. Значення нижче одиниці проходить лише енергетичну перевірку.

Для ілюстративної оцінки лише каналу SMBH приймемо переважання акреційного зростання, нехтовно малі маси зародків і втрати при злиттях, сталу повну ефективність виділення енергії \(\epsilon_{\rm acc}=0.1\) та стабільні частинки, що народжуються холодними. Використаємо класичну оцінку локальної густини маси Marconi et al. [8], перераховану до \(h=0.674\), і значення Planck для базової ΛCDM \(\Omega_ch^2=0.120\) [1]:

\rho_{{\rm BH},0}\simeq4.26\times10^5\,M_\odot\,{\rm Mpc}^{-3},\qquad \rho_{{\rm DM},0}/c^2\simeq3.33\times10^{10}\,M_\odot\,{\rm Mpc}^{-3}.

\bar U_{\rm available}/c^2\simeq\frac{\epsilon_{\rm acc}}{1-\epsilon_{\rm acc}}\rho_{{\rm BH},0}\simeq4.74\times10^4\,M_\odot\,{\rm Mpc}^{-3}.

\xi_0\simeq1.42\times10^{-6}f_{\rm conv}.

Частка перетворення 0,01 дає \(\xi_0\simeq1.4\times10^{-8}\). Алгебраїчно для \(\xi_0=10^{-6}\) потрібна частка близько 0,70, уже поза режимом слабкого перетворення; при цьому доведеться заново узгодити видимі світності AGN і зростання BH. Це не встановлений допустимий розв’язок із високою ефективністю.

Сама лише наведена в [8] асиметрична похибка дає приблизно \((1.0-2.0)\times10^{-6}\) для коефіцієнта перед часткою перетворення. Вона не включає невизначеності ефективності, зародків, прихованого зростання та локальних масштабних співвідношень. Альтернативні оцінки густини маси можуть істотно відрізнятися [5]. За релятивістського народження додаткова енергія втрачається через червоне зміщення. Інші популяції BH, обертальні канали та злиття потребують власних бюджетів. Тому ця оцінка обмежує обрану модель, але не встановлює універсальної верхньої межі й не є виявленням.

29. Що означає мале \(f_{\rm conv}\)

Якщо розрахунок дає, наприклад,

f_{\rm conv}\sim10^{-6}

це лише означає, що для отримання відповідного субкомпонента необхідно перетворити одну мільйонну доступного енергетичного потоку.

Такий результат:

f_{\rm conv}\ll1

не є автоматично свідченням фізичної реалізовності.

Необхідно показати, що конкретна мікрофізика справді допускає таке значення.

30. Нульові моделі

Нульовою моделлю є випадок без джерела. Решта випадків є конкурентними моделями джерела, а не незалежними нульовими гіпотезами. Перед порівнянням потрібно задати їхні амплітуди, початкові умови та апріорні розподіли.

Модель 1

\[Q_X=0\]

Стандартна \(\Lambda\)CDM.

Модель 2

Q_X\propto\rho_{\rm BH}(z)

Модель 3

Q_X\propto\dot\rho_{\rm acc}(z)

Модель 4

Q_X(t)=\mathcal E_*\delta(t-t_*)

Амплітуда \(\mathcal E_*\) є енергією на фізичний об’єм у момент інжекції. Дельта-функція Дірака має розмірність оберненого часу, тому \(Q_X\) має потрібну розмірність густини потужності.

Модель 5

Модель утворення через випромінювання Гокінга PBH.

Це покаже, чи дійсно дані віддають перевагу джерелу, залежному від історії чорних дір.

31. Основне передбачення моделі

Якщо джерело пов'язане з історією акреції:

Q_X(z)\propto\dot\rho_{\rm acc}(z)

тоді:

\rho_X(z)=\int^t dt'\,\dot\rho_{\rm acc}(t')c^2\epsilon_{\rm acc}f_{\rm conv} \left(\frac{a'}a\right)^3

Отже, темний компонент повинен мати ядро пам'яті, пов'язане з історією AGN/росту чорних дір.

Це головна відмінна риса моделі.

32. Передбачення просторової кореляції

Якщо джерело пов'язане з чорними дірами:

Q_X(\mathbf x) \propto n_{\rm BH}(\mathbf x)

або

Q_X(\mathbf x) \propto \dot\rho_{\rm acc}(\mathbf x)

то виникає кореляція між \(X\) та популяцією галактик/AGN.

Можна досліджувати перехресну потужність:

P_{X,g}(k,z)

Якщо \(\xi\) достатньо велике:

P_{X,g}\neq0

це може стати спостережуваним.

Ненульова кореляція з галактиками не є унікальною для цього механізму: звичайна холодна темна матерія також корелює з галактиками. Корисна перевірка має відрізняти передбачені залежності від масштабу, червоного зміщення й амплітуди від стандартної кластеризації та астрофізичних ефектів відбору.

33. Передбачення для профілів гало

Якщо утворений \(X\) залишається гравітаційно зв'язаним:

f_{\rm bound}\neq0

то джерело є найсильнішим у регіонах із високою густиною чорних дір.

Однак це автоматично не означає центрального піку.

Транспорт може згладжувати профіль:

\rho_X(r,t)=\int_{t_i}^{t}dt'\int_0^\infty4\pi r'^2dr'\,K_r(r,t|r',t')Q_X(r',t')

Тому центральне підсилення має бути розраховане, а не припущене.

У цьому локальному виразі для гало \(r\) та \(r'\) є фізичними радіусами, а ядро включає необхідні перетворення об’єму, перенесення та виживання. Це інше нормування, ніж у ядра в супутніх координатах розділу 17.

34. Можливий зв'язок із морфологією галактик

Якщо утворення пов'язане з активністю AGN, то:

Q_X \sim Q_X({\rm AGN})

Тоді еліптичні галактики та масивні балджі можуть мати посилені історії джерела.

Однак залежність від сучасної морфології є надто складною, щоб перетворити її на конкретне передбачення без популяційного синтезу.

Тому в цій роботі це залишається другорядним спостережуваним ефектом.

35. Гравітаційно-хвильовий канал

Злиття чорних дір породжують:

E_{\rm GW} \sim \eta_{\rm GW}Mc^2

Якщо перетворення в темний сектор пов'язане з динамікою злиття:

E_X=f_{\rm merger}E_{\rm available}

то:

Q_X^{\rm merger}=\int dM_1\,dM_2\,R_{\rm merge}f_{\rm merger}E_{\rm available}

Однак сучасна популяція гравітаційних хвиль не вимагає такого додаткового каналу.

Тому канал злиття слід розглядати як окреме тестоване розширення.

Аналізи даних LVK також сильно обмежують можливість того, що спостережувана популяція чорних дір зоряних мас значною мірою є PBH; наприклад, один з аналізів O3 отримує \(f_{\rm PBH}\lesssim10^{-3}\) у діапазоні \(1-200M_\odot\) для розглянутих сценаріїв.

Частота злиттів в інтегралі джерела задається на фізичний об’єм, власний час джерела та інтервали мас компонентів за фіксованого червоного зміщення. Перехід від спостережуваного розподілу подій потребує множників об’єму й сповільнення часу; інтегрування за червоним зміщенням належить до подальшого розрахунку космічної історії. Обмеження вмісту PBH залежать від прийнятої функції мас, утворення подвійних систем і кластеризації та не обмежують безпосередньо цю ефективність темного випромінювання.

36. Електромагнітні обмеження

Якщо утворення темного сектору супроводжується випромінюванням у видимий сектор:

X\rightarrow\gamma+\cdots

то необхідно враховувати:

\Delta I_\gamma(E)

космічний рентгенівський фон,

гамма-фон,

радіофони.

Тому:

f_{\rm conv}

не можна розглядати незалежно від коефіцієнтів розгалуження.

37. Обмеження CMB

Введення енергії у видимий сектор може змінювати іонізацію, температуру газу й анізотропії CMB. Миттєве випромінювання при народженні та подальший розпад частинок є різними джерелами. Для нерелятивістських частинок із часом життя в системі спокою \(\tau_X\) частка розпадів у видимий сектор дає:

Q_{\rm vis,dec}=f_{\rm vis}\rho_X/\tau_X.

Передавання енергії газу загалом не є миттєвим або повним. Воно потребує розрахунку перенесення із залежністю від енергії та червоного зміщення. Обмеження мають випливати з отриманої історії іонізації та CMB, а не з універсальної поточкової стелі для \(Q_X(z)\). Навіть цілком невидима компонента впливає на розширення й гравітаційні збурення.

38. Великомасштабна структура

Для холодного субкомпонента:

\delta_X

може бути близьким до стандартного збурення CDM.

Для теплого компонента:

\lambda_{\rm FS}

може пригнічувати потужність на малих масштабах.

Тому модель має задовольняти:

\left| \frac{\Delta P(k)} {P_{\Lambda{\rm CDM}}(k)} \right| < \varepsilon_P(k,z)

39. Кількість гало

Якщо \(X\) з'являється пізно, він може не встигнути взяти участь у ранньому формуванні гало.

Для стабільного холодного компонента з невід’ємним джерелом і холодним еталонним компонентом, що зберігається, частка зростає до теперішнього часу:

\xi(z_{\rm form})\le\xi(z_0)

Це створює потенційну відмінність між:

- загальною кількістю матерії сьогодні;

- матерією, доступною під час раннього формування структури.

Цей ефект є одним із найсильніших способів перевірки сценарію пізнього джерела.

40. Локальне обмеження Чумацького Шляху

Для нашої Галактики:

Q_X(\mathbf r)=\sum_iL_{X,i}\delta^3(\mathbf r-\mathbf r_i)

Основний внесок може надходити від центральної SMBH або від усієї популяції чорних дір зоряних мас.

Але не слід припускати:

Q_X\sim Q_{\rm SMBH}

без популяційного розрахунку.

Якщо чорних дір зоряних мас багато, їхній інтегрований внесок може конкурувати з внеском SMBH.

41. Чорні діри зоряних мас проти надмасивних чорних дір

Модель має розрізняти:

Q_X=Q_X^{\rm stellar}+Q_X^{\rm intermediate}+Q_X^{\rm SMBH}

Якщо:

\Gamma_X\propto M^\alpha

то відносний внесок визначається не лише кількістю об'єктів, а й зважуванням за масою:

Q_i\propto\int d\ln M\,M^{1+\alpha}\Phi_i(M)

Це робить показник \(\alpha\) критично важливим.

42. Залежність від спіну

Якщо:

\Gamma_X=\Gamma_0g(\chi)

то:

Q_X \propto \langle g(\chi)\rangle

Для механізму надвипромінювання:

g(\chi)

може різко зростати зі спіном.

Тоді вміст залежить від історії спінів через інтеграл джерела. Його параметр густини визначається як:

\Omega_X(z)=\rho_X(z)/(\rho_{\rm crit}(z)c^2)

Тут \(\rho_{\rm crit}=3H^2/(8\pi G)\) є критичною густиною маси; множник \(c^2\) переводить її в густину енергії. Саме визначення не є спостережним передбаченням.

43. Інформація, закодована в популяції чорних дір

Таким чином, популяція чорних дір діє як своєрідний космічний інтегратор:

\{M,\chi,\dot M,z\} \rightarrow Q_X

Сучасний каталог чорних дір містить неповну інформацію про минуле.

Тому необхідна реконструкція:

P(M,\chi,\dot M|z)

Це історичний популяційний синтез.

44. Історичний потік проти поточної активності

Розглянемо два сценарії.

Модель A

Q_X(z)\propto\rho_{\rm BH}(z)

Модель B

Q_X(z)\propto\dot\rho_{\rm acc}(z)

Вони можуть давати однаковий \(Q_X(z=0)\), але абсолютно різні:

\rho_X(z)

Тому вимірювання лише сьогоднішньої густини чорних дір недостатньо.

Необхідно реконструювати:

\[Q_X(z)\]

протягом усієї космічної історії.

45. Зв'язок із функціями світності AGN

Нехай \(\bar\Phi_L(L,z)=dN/(dV_{\rm com}\,d\ln L)\) є болометричною функцією світності видимих AGN із поправками на відбір і поглинання. У моделі розподілу енергії з розділу 4 за сталого \(0\le f_{\rm conv}<1\):

Q_X(z)=a^{-3}\frac{f_{\rm conv}}{1-f_{\rm conv}}\int d\ln L\,\bar\Phi_L(L,z)L.

Множник \(a^{-3}\) переводить супутню густину світності у фізичну густину джерела. За слабкого перетворення відношення приблизно дорівнює \(f_{\rm conv}\). Якщо ефективність залежить від світності, вона має бути всередині інтеграла. Не можна виводити високу ефективність перетворення, водночас залишаючи незмінними видиму функцію світності та стандартне калібрування зростання BH.

46. Перевірка узгодженості типу Солтана

За сталої повної ефективності виділення енергії акреційний внесок у зростання супутньої густини маси BH задовольняє:

\frac{d\bar\rho_{{\rm BH},\rm acc}}{dt}=(1-\epsilon_{\rm acc})\dot{\bar\rho}_{\rm in}.

Відповідне фізичне джерело темної компоненти дорівнює:

Q_X=a^{-3}f_{\rm conv}\frac{\epsilon_{\rm acc}}{1-\epsilon_{\rm acc}}c^2\frac{d\bar\rho_{{\rm BH},\rm acc}}{dt}.

Похідна тут стосується лише маси, накопиченої акрецією на супутній об’єм; утворення зародків, втрати при злиттях і викинуті об’єкти потребують окремого обліку. Ефективність видимого випромінювання дорівнює \((1-f_{\rm conv})\epsilon_{\rm acc}\). Тому світності AGN та демографія BH спільно обмежують розподіл енергії. Приховане або радіаційно неефективне зростання додає систематичну невизначеність, але не дає необмеженого енергетичного запасу [5, 6, 7, 9].

47. Фундаментальне обмеження

Навіть якщо:

f_{\rm conv}\ll1

є енергетично достатнім, це все одно не доводить існування зв'язку з темним сектором.

Проходження енергетичної перевірки не встановлює мікроскопічного механізму народження.

Це фундаментальне обмеження даної структури.

48. Критерії фальсифікації

Гіпотезу слід вважати виключеною в певній області параметрів, якщо виконується хоча б одна з таких умов:

1. Енергетична неможливість

f_{\rm conv}>1

2. Порушення CMB

Передбачена історія іонізації або CMB, виключена спільним аналізом даних.

3. Порушення структури

\Delta P(k)

перевищує допустимий діапазон.

4. Порушення через вільний пробіг

\lambda_{\rm FS}

є надто великою.

5. Порушення демографії чорних дір

Зворотний вплив істотно змінює спостережувану функцію мас чорних дір.

6. Порушення фонів

Утворені видимі вторинні частинки перевищують рівень космічних фонів.

7. Несумісність популяції

Не існує допустимої

\Phi(M,\chi,z)

яка дає необхідний \(Q_X\).

Ці критерії виключають конкретні параметри після спільного аналізу даних. Вільну ефективність, що прямує до нуля, не можна виключити самою відсутністю сигналу. Обмеження за вільним пробігом і видимою енергією залежать від вмісту, спектрів та передавання енергії; універсального порога без цих припущень немає.

49. Позитивний тест

Позитивний результат не повинен виглядати як:

«ми знайшли темну матерію в чорних дірах».

Натомість він має бути сформульований значно суворіше:

D \Rightarrow Q_X(z) \neq0

і одночасно:

\[Q_X(z)\]

має бути статистично пов'язаний із

\Phi_{\rm BH}(M,\chi,z)

або

\Phi_{\rm AGN}(L,z)

Тобто необхідно виявити компонент темного сектору, залежний від історії чорних дір.

Таке свідчення потребуватиме статистичної переваги ненульового джерела в конкретній моделі та виключення правдоподібних альтернатив, включно зі звичайним зміщенням галактик. Сама кореляція не встановлює мікроскопічного походження.

50. Статистична структура

Параметри:

\theta= \{ f_{\rm conv},\alpha,\beta,\gamma, m_X,\tau_X, f_{\rm bound}, f_{\rm vis} \}

Функція правдоподібності:

\mathcal L(\theta)=\mathcal L_{\rm CMB}\mathcal L_{\rm LSS}\mathcal L_{\rm BH}\mathcal L_{\rm GW}\mathcal L_{\rm EM}

Апостеріорний розподіл:

P(\theta|D) \propto \mathcal L(D|\theta) \pi(\theta)

Основний параметр:

\xi= \frac{\Omega_X}{\Omega_{\rm DM}}

Добуток функцій правдоподібності допустимий лише для умовно незалежних наборів даних; вибірки, що перетинаються, та спільні систематичні похибки потребують спільної коваріації. \(\xi\) виводиться з нормування джерела й еволюції, а не є додатковим незалежним вмістом для підгонки. Вироджені параметри швидкості та виходу потребують незалежних даних або скорочення набору параметрів.

51. Ієрархічний популяційний висновок

Замість фіксованої функції мас чорних дір:

\Phi(M,z)

її слід розглядати як латентну популяційну модель:

\Phi(M,z|\psi)

де \(\psi\) позначає параметри еволюції популяції.

Тоді:

P(\xi,\psi|D) \propto P(D|\xi,\psi) P(\xi)P(\psi)

Це дозволяє врахувати невизначеність у демографії чорних дір.

Добуток апріорних розподілів передбачає апріорну незалежність. Якщо вміст виводиться з параметрів джерела й популяції, треба використовувати їхній спільний розподіл та породжений ним розподіл вмісту, а не задавати одній величині два непов’язані апріорні розподіли.

52. Мінімальний чисельний експеримент

Мінімальний чисельний конвеєр має включати:

\Phi(M,z) \rightarrow \dot M(M,z) \rightarrow Q_X(z) \rightarrow \rho_X(z) \rightarrow \xi(z)

після чого необхідно розрахувати:

\[P(k,z)\]

C_\ell^{TT,TE,EE,\phi\phi}

та спостережувані характеристики гало.

53. Сканування орієнтирних параметрів

Щонайменше необхідно дослідити:

10^{-8} \le f_{\rm conv} \le 10^{-1}

-2\le\alpha\le2

-4\le\gamma\le4

а для частинки темного сектору:

10^{-6}\,{\rm eV} \le m_Xc^2 \le 10^6\,{\rm GeV}

Це не твердження про допустимість усього діапазону; це діапазон для початкового чисельного сканування.

Це пошукові координати, а не доведений доступний діапазон мас. Конкретний механізм народження визначає пороги та спектр; плазма з енергією порядку кеВ не може термічно породжувати довільно важкі частинки. Треба включити випадок без джерела та за потреби менші частки перетворення. Сканування параметрів у цій роботі не виконано.

54. Основні очікувані режими

Режим I - нехтуваний

\xi\ll10^{-6}

Космологічно малий вміст; можливість виявлення все одно залежить від взаємодії та спостережуваної величини, а не лише від цієї частки.

Режим II - слабкий субкомпонент

10^{-6}\lesssim\xi\lesssim10^{-3}

Пошуковий інтервал, а не природний наслідок слабкого зв’язку. Модель слабкого перетворення на SMBH дає менші значення.

Режим III - помітний субкомпонент

10^{-3}\lesssim\xi\lesssim10^{-1}

Потребує окремо обґрунтованого джерела енергії та суворіших спостережних перевірок. Бюджет моделі з розділу 28 його не підтримує.

Режим IV - домінантний

\xi\sim1

Найжорсткіший сценарій і не є основною метою цієї роботи.

55. Чому \(\xi\sim1\) не є центральною метою

Для домінантного компонента необхідно одночасно відтворити:

\Omega_{\rm DM}

\[P(k)\]

C_\ell

кількість гало,

галактичну динаміку

одночасно.

Час народження компоненти є окремим обмеженням.

Якщо більша частина DM з'являється надто пізно, вона не бере участі в ранньому формуванні структури.

Тому субдомінантний сценарій є значно консервативнішою гіпотезою.

56. Порівняння з темною матерією з PBH

У першому випадку історія джерела визначається ранньою космологією.

У другому:

\[Q_X(z)\]

слідує за історією зореутворення, формування галактик, активності AGN та росту чорних дір.

Це принципово різні спостережувальні сигнатури.

Первинне походження: ранній Всесвіт створює PBH; вцілілі PBH можуть самі становити частину темної матерії, а популяція, що випаровується, може породжувати нові частинки. Астрофізичне походження: зоряна еволюція або утворення масивних зародків створюють BH, оточення яких пізніше може бути джерелом X.

57. Зв'язок із фізикою прихованого сектору

Темна матерія прихованого сектору вже досліджується в теоріях, де темні частинки дуже слабко взаємодіють із видимим сектором або взаємодіють переважно гравітаційно.

Особливо цікавим є сценарій, у якому звичайні астрофізичні об'єкти діють як посередники між двома секторами.

У цьому сенсі модель джерела через чорні діри можна розглядати як форму:

астрофізичний зв’язок між видимим і прихованим секторами.

Але конкретний портал має бути визначений окремою фізичною моделлю частинок.

58. Зв’язок із наявними роботами та межі новизни

Народження темних частинок поблизу астрофізичних BH з акрецією вже вивчалося, включно з процесами в тепловій плазмі, прискоренням наявних темних частинок і надвипромінюванням. Крім літератури про PBH, безпосередньо стосується теми робота Cai et al. [14]. Прискорення вже наявних частинок не створює нового запасу маси спокою.

Запропонована схема об’єднує історію популяції, перетворення, виживання та перенесення для узгодженого обліку. Інтегрування джерела за часом є стандартною процедурою. Запис цього інтеграла не обґрунтовує пріоритет. Самостійний внесок потребуватиме розрахованого виходу популяції, нового обмеження або спостережуваної ознаки з кількісним порівнянням з наявними моделями.

59. Найсильніше формулювання гіпотези

Найсильніше формулювання гіпотези таке:

Умовна гіпотеза полягає в тому, що компонента \(X\), якщо вона народжується через визначений механізм астрофізичних BH, має вміст, який визначається історією джерела. Для спочатку відсутніх стабільних холодних частинок отримуємо наведену нижче форму з \(\mathcal S_X=1\). Скінченний нерелятивістський час життя додає коефіцієнт виживання з розділу 7.

Математично:

\rho_X(t)=\int_{t_{\rm form}}^t dt'\int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}(M,\chi,t')\,\Gamma_{\rm BH}(M,\chi,t')\,Y_X(M,\chi,t')Mc^2\left[\frac{a(t')}{a(t)}\right]^3\mathcal S_X(t',t)

Це центральне рівняння моделі.

60. Оптимістична енергетична оцінка

Для мінімальної моделі візьмемо:

\[Y_X=1\]

f_{\rm bound}=1

f_{\rm surv}=1

але трактуватимемо їх як оптимістичну верхню межу.

Тоді:

Q_X^{\rm max}=f_{\rm conv}\dot u_{\rm available}

Якщо навіть ця верхня межа не може породити необхідну \(\xi\), модель виключається.

Якщо може, починається другий етап:

\[Y_X<1\]

транспорт,

вільний пробіг,

розпад,

видима гілка розпаду.

61. Логіка верхньої межі

Таким чином, аналіз має проводитися в такому порядку:

Енергетичний бюджет → обмеження популяції → космологічна еволюція → перенесення; для зв’язку цих етапів потрібен мікроскопічний механізм.

Це запобігає надмірній інтерпретації результату.

62. Можливий результат чисельного аналізу

Можливі три ситуації.

Випадок A

f_{\rm conv}>1

Гіпотеза енергетично неможлива.

Випадок B

10^{-10}<f_{\rm conv}<10^{-3}

Потрібна частка проходить енергетичну перевірку для обраних вмісту та джерела енергії. Ще потрібно встановити мікроскопічний механізм, спектр і узгодженість зі спостереженнями; універсальна сила взаємодії із цього числа не випливає.

Випадок C

f_{\rm conv}\sim10^{-1}-1

Гіпотеза стає значно сильніше обмеженою та потребує дуже ефективного зв'язку з темним сектором.

63. Необхідне продовження роботи

Наступний етап має бути обчислювальним, а не концептуальним.

Необхідно побудувати:

Етап 1

Емпіричну функцію мас чорних дір.

Етап 2

Розподіл за спіном.

Етап 3

Функцію світності AGN.

Етап 4

Історичну густину акреції.

Етап 5

Інтегрований за популяцією \(Q_X(z)\).

Етап 6

Больцманівську еволюцію.

Етап 7

Спектр потужності матерії.

Етап 8

Правдоподібність CMB/LSS.

64. Очікувана форма результату

Результатом має бути обмеження:

\xi < \xi_{\rm max}(m_X,\alpha,\gamma,f_{\rm vis},\ldots)

а не одне довільне число.

Наприклад:

\xi_{\rm max}=\xi_{\rm max}(m_X,\alpha,\gamma)

Це робить результат придатним для публікації та подальшого порівняння з іншими моделями темного сектору.

65. Основний спостережувальний дискримінатор

Найцікавіший тест:

зв’язок гіпотетичної темної компоненти з історією зростання BH.

Якщо утворений компонент виникає внаслідок первинного механізму, його кількість визначається раннім Всесвітом.

Якщо:

Q_X\propto\dot\rho_{\rm acc}

то він має бути пов'язаний із космічною історією AGN.

кількісно відмінну кореляцію з історією BH/AGN після врахування звичайної кластеризації галактик.

66. Обмеження цього препринту

Обмеження мають бути сформульовані явно.

1.

Не виведено жодної конкретної фундаментальної взаємодії.

2.

Не продемонстровано існування випромінювання темного сектору з астрофізичних чорних дір.

3.

Повний чисельний популяційний синтез не виконано.

4.

Больцманівський/CMB-аналіз правдоподібності не виконано.

5.

Точне \(f_{\rm bound}\) не розраховано.

6.

Спектр утворення \(dN_X/dp\) не задано.

7.

Не всі альтернативні джерела виключено.

Робота залишається феноменологічною дослідницькою схемою з ілюстративним розрахунком енергетичного бюджету. Темну компоненту не виявлено, мікроскопічну швидкість народження не виведено; не стверджується, що будь-яка область космологічних параметрів пройшла повний аналіз функції правдоподібності.

67. Що стверджує стаття

Обґрунтований результат є умовною оцінкою бюджету: для заданої моделі акреції на SMBH \(\xi_0\simeq1.42\times10^{-6}f_{\rm conv}\). Тому космологічно помітний вміст важко отримати за слабкого перетворення. Оцінка не встановлює існування самого перетворення. Питання про те, чи породжує конкретна взаємодія стабільні частинки з потрібними спектром, виживанням і кластеризацією, залишається відкритим.

68. Чого стаття НЕ стверджує

У цій роботі BH не ототожнюються з усією темною матерією або з білими дірами. Запропонована схема не встановлює існування дочірнього всесвіту чи процесу квантової гравітації.

69. Спекулятивні розширення

Переходи від чорної діри до білої, дочірні всесвіти та процеси зміни топології є спекулятивними розширеннями. Вони потребують причинної й динамічної моделі поза межами цієї роботи та не використовуються в енергетичній оцінці чи основних рівняннях джерела.

70. Висновок

Запропоновано феноменологічну структуру для перевірки гіпотези про те, що астрофізичні чорні діри можуть бути джерелом субдомінантного компонента темного сектору.

Ключове рівняння:

\dot\rho_X+3H\rho_X=Q_X

з інтегрованим за популяцією джерелом:

Q_X=c^2\int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}M\Gamma_{\rm BH}Y_X

Густина історичного компонента:

\rho_X(t)=\int^t dt'\,Q_X(t')\left(\frac{a'}a\right)^3\mathcal S_X

Це приводить до центрального висновку:

Сучасна популяція BH та її історичне енерговиділення є різними величинами, пов’язаними спільним бюджетом зростання й енергії.

Перевірка має спільно використовувати популяцію та історію її зростання. Сучасна густина маси BH залишається важливим інтегральним обмеженням через енергетичний баланс; її не можна просто відкинути на користь історичного запасу енергії.

\Phi_{\rm BH}(M,\chi,z)+\dot M_{\rm acc}(M,\chi,z)\rightarrow Q_X(z)\rightarrow\rho_X(z)

Ілюстративний бюджет SMBH дає \(\xi_0\simeq1.42\times10^{-6}f_{\rm conv}\), тому перетворення одного відсотка забезпечує близько \(1.4\times10^{-8}\) прийнятої густини темної матерії. Ширші канали джерела потребують додаткових розрахунків. Ця оцінка не демонструє мікроскопічного каналу й не встановлює допустимості моделі за спостереженнями.

Тому центральне наукове питання формулюється так:

Чи може конкретна причинно узгоджена взаємодія перетворити доступну енергію на стабільні частинки, які залишаються достатньо холодними та задовольняють обмеження за популяцією, електромагнітними, гравітаційними й космологічними даними?

Це питання є конкретним, кількісним і потенційно таким, що піддається фальсифікації.

Додаток A. Рівняння та необхідні умови замикання

Для стабільної однорідної компоненти використовуються рівняння енергії та джерело, інтегроване за популяцією:

\dot\rho_X+3H(\rho_X+P_X)=Q_X,\qquad Q_X=\int dM\,d\chi\,n_{\rm BH}L_X.

Для фізичної числової густини за масою та спіном схематичне рівняння неперервності популяції має вигляд:

\partial_t n_{\rm BH}+3Hn_{\rm BH}+\partial_M(\dot M n_{\rm BH})+\partial_\chi(\dot\chi n_{\rm BH})=S_{\rm seed}+S_{\rm merger,gain}-S_{\rm merger,loss}.

Члени утворення зародків і появи/зникнення при злиттях не мають давати подвійного обліку; ще потрібно задати ядра злиттів, еволюцію спіну та граничні умови. Перехід до супутньої популяції \(\bar n=a^3n\) усуває явний член розрідження після узгодженого перетворення всіх членів.

У мінімальній моделі розподілу енергії акреції:

\dot M_{\rm BH}=(1-\epsilon_{\rm acc})\dot M_{\rm in},\qquad L_X=f_{\rm conv}\epsilon_{\rm acc}\dot M_{\rm in}c^2.

Разом із фазовим рівнянням розділу 24 та компенсувальними втратами розділу 11 це рівняння, які треба замкнути конкретним механізмом і моделлю популяції. Вони ще не становлять розв’язаної космологічної моделі.

Додаток B. Безрозмірне формулювання

Визначимо:

x=\ln a

Тоді:

\frac{d\rho_X}{dx}+3\rho_X=\frac{Q_X}{H}

Для комовингової густини:

\bar\rho_X=a^3\rho_X

отримуємо:

\frac{d\bar\rho_X}{dt}=a^3Q_X

Отже:

\bar\rho_X(t)=\int^t a^3(t')Q_X(t')dt'

Це найзручніша форма для чисельного інтегрування.

Наведений інтеграл передбачає нульовий початковий вміст, стабільні холодні частинки й відсутність втрат; інакше додаються початковий член та відповідна еволюція втрат або імпульсів. При переході до червоного зміщення використовується \(dt=-dz/[(1+z)H(z)]\) зі зворотним порядком меж інтегрування.

Додаток C. Ефективність ефективного джерела

Визначимо:

\epsilon_{\rm eff}(z)=\frac{Q_X}{\dot\rho_{\rm acc}c^2}

Тоді:

Q_X=\epsilon_{\rm eff}\dot\rho_{\rm acc}c^2

Якщо \(\epsilon_{\rm eff}\) є сталою:

\rho_X(t)=\epsilon_{\rm eff}\int^t dt'\,\dot\rho_{\rm acc}(t')c^2\left(\frac{a'}a\right)^3

Якщо вона залежить від маси:

\epsilon_{\rm eff}=\epsilon_0\left(\frac{M}{M_0}\right)^\alpha(1+z)^\gamma g(\chi)

Додаток D. Набір параметрів орієнтирної моделі

Мінімальний набір параметрів:

\theta=\{\epsilon_0,\alpha,\gamma,m_X,\tau_X,f_{\rm bound},f_{\rm vis}\}

Додатково:

\beta

для залежного від маси виходу та

\chi_0

для залежності від спіну.

Додаток E. Основний критерій здійсненності

Для розглянутого субдомінантного сценарію перетворення потрібні \(0\le\xi<1\), фізично доступний бюджет джерела та механізм із допустимими ефективностями. Повний передбачений набір спостережуваних величин, включно зі спектрами потужності, CMB, видимими фонами та демографією BH, треба порівнювати зі спільною функцією правдоподібності, що враховує коваріацію й допоміжні параметри. Поточкові межі спектрів або введеної потужності є лише наближеннями для конкретної моделі. Проходження цих перевірок означало б сумісність, але не відкриття й не унікальність.

Додаток F. Робоча класифікація сценаріїв

Сценарій

Основне джерело

Залежність від часу

Основний тест

Випаровування PBH

Випромінювання Гокінга

ранній Всесвіт

BBN/CMB/гамма-випромінювання

Астрофізична акреція

AGN/ріст чорних дір

\(z\sim0-10\)

LSS/CMB/історія чорних дір

Злиття чорних дір

енергія злиття

епізодичний

кореляція з GW

Вилучення енергії обертання

обертання чорної діри

залежний від спіну

популяція чорних дір за спіном

Мікрофізика горизонту

невідома

залежний від моделі

мультимесенджерний аналіз

Додаток G. Основне фальсифіковане передбачення

Якщо модель реалізується через джерело, пов'язане з акрецією:

Q_X(z)\propto\dot\rho_{\rm acc}(z)

то кількість \(X\) повинна мати певне часове ядро:

\[K_X(z,z')\]

Тому різні спостережувані характеристики темного сектору мають бути узгоджені з тією самою функцією:

\[K_X(z,z')\]

Це дозволяє перейти від простої заяви про можливість утворення темної матерії чорними дірами до кількісної перевірки гіпотези.

Посилання та ключові орієнтири

Planck Collaboration. Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters. arXiv:1807.06209.
J. Auffinger. Primordial black hole constraints with Hawking radiation - a review. arXiv:2206.02672.
N. Bernal, Ó. Zapata. Dark Matter in the Time of Primordial Black Holes. arXiv:2011.12306.
P. Gondolo, P. Sandick, B. Shams Es Haghi. The Effects of Primordial Black Holes on Dark Matter Models. arXiv:2009.02424.
A. Comastri et al.. Mass without radiation: heavily obscured AGN, the X-ray Background and the Black Hole Mass Density. arXiv:1501.03620.
Q. Yu, Y. Lu. Toward precise constraints on growth of massive black holes. arXiv:0808.3777.
A. Merloni. Cosmological evolution of supermassive black holes and AGN: a synthesis model for accretion and feedback. arXiv:0808.0070.
A. Marconi et al.. Local Supermassive Black Holes, Relics of Active Galactic Nuclei and the X-ray Background. arXiv:astro-ph/0311619.
K. Jahnke. The Soltan argument at z=6: UV-luminous quasars contribute less than 10% to early black hole mass growth. arXiv:2411.03184.
M. Andrés-Carcasona et al.. Constraints on primordial black holes from LIGO-Virgo-KAGRA O3 events. arXiv:2405.05732.
R. Foot, S. Vagnozzi. Dissipative hidden sector dark matter. arXiv:1409.7174.
A. Boudon et al.. Baryogenesis through Asymmetric Hawking Radiation from Primordial Black Holes as Dark Matter. arXiv:2010.14426.
K. Agashe et al.. Light in the Shadows: Primordial Black Holes Making Dark Matter Shine. arXiv:2409.13811.
R.-G. Cai, S. Sun, B. Zhang, Y.-L. Zhang. Dark fluxes from accreting black holes through several mechanisms. arXiv:2009.02315.
K. A. Malik, D. Wands. Cosmological perturbations. arXiv:0809.4944.

Фінальне формулювання

Запропонована структура не потребує припущення, що самі чорні діри є темною матерією.

Вона розглядає слабшу та таку, що піддається перевірці, можливість:

Популяція BH забезпечує гіпотетичне темне джерело із заданою ефективністю перетворення.

\epsilon_X\ll1

та

\Omega_X<\Omega_{\rm DM}

Найважливішим об'єктом дослідження є не окрема чорна діра, а інтегрований історичний потік:

\mathcal T_X=\int Q_X(t)\left(\frac{a(t)}{a_0}\right)^3dt

Таким чином, гіпотеза перетворюється зі спекулятивного твердження на задачу популяційного синтезу + больцманівської еволюції + космологічного висновку.

Її остаточний статус має визначатися не лише енергетичною оцінкою, а сукупним результатом:

Демографія BH, історія акреції, мікроскопічні взаємодії, перенесення, CMB, великомасштабна структура та спостереження за допомогою різних носіїв інформації.

За такого формулювання гіпотеза може бути перетворена на кількісно тестовану модель субдомінантного компонента темного сектору.